《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

11. 某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量 $ y $ 与时间 $ t $ 之间近似满足如图所示的曲线。
(1) 写出服药后 $ y $ 与 $ t $ 之间的函数关系式；
(2) 据测定：每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为早晨 7:00,问其余 3 次怎样安排服药的时间效果最佳？

答案：
(1) 解：当 $0 \leq t \leq 1$ 时，设 $y = kt$，将 $(1, 6)$ 代入得 $6 = k × 1$，解得 $k = 6$，所以 $y = 6t$；当 $1 ＜ t \leq 10$ 时，设 $y = mt + n$，将 $(1, 6)$，$(10, 0)$ 代入得 $\begin{cases}6 = m + n \\ 0 = 10m + n\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = -\frac{2}{3} \\ n = \frac{20}{3}\end{cases}$，所以 $y = -\frac{2}{3}t + \frac{20}{3}$。综上，$y = \begin{cases}6t(0 \leq t \leq 1) \\ -\frac{2}{3}t + \frac{20}{3}(1 ＜ t \leq 10)\end{cases}$
(2) 解：第一次服药 7:00，令 $6t = 4$，得 $t = \frac{2}{3}$（有效开始）；令 $-\frac{2}{3}t + \frac{20}{3} = 4$，解得 $t = 4$（首次有效结束），故第二次服药在 7:00 + 4h = 11:00。11:00 服药，设第二次服药后 $t_1$ 小时有效结束，此时第一次残留药量为 $y_1 = -\frac{2}{3}(4 + t_1) + \frac{20}{3}$，第二次药量为 $y_2 = -\frac{2}{3}t_1 + \frac{20}{3}$，$y_1 + y_2 = 4$，解得 $t_1 = 5$，故第三次服药在 11:00 + 5h = 16:00。16:00 服药，设第三次服药后 $t_2$ 小时有效结束，第二次残留药量 $y_3 = -\frac{2}{3}(5 + t_2) + \frac{20}{3}$，第三次药量 $y_4 = -\frac{2}{3}t_2 + \frac{20}{3}$，$y_3 + y_4 = 4$，解得 $t_2 = 4.5$，故第四次服药在 16:00 + 4.5h = 20:30。服药时间安排为第二次 11:00，第三次 16:00，第四次 20:30。