《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

10. 如图,中俄“海上联合-2017”军事演习在海上编队演习中,两艘航母护卫舰从同一港口$O$同时出发,一号舰沿南偏西$30^{\circ}$方向以12海里/小时的速度航行,二号舰以16海里/小时的速度航行,离开港口1.5小时后它们分别到达$A$,$B$两点,相距30海里,则二号舰航行的方向是______。

南偏东 $60^\circ$

答案： 解：由题意得，一号舰航行路程 $OA = 12 × 1.5 = 18$ 海里，二号舰航行路程 $OB = 16 × 1.5 = 24$ 海里，$AB = 30$ 海里。
因为 $18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$，所以 $OA^2 + OB^2 = AB^2$，故 $\angle AOB = 90^\circ$。
已知一号舰沿南偏西 $30^\circ$ 方向航行，所以二号舰航行方向与正南方向夹角为 $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$，即二号舰航行的方向是南偏东 $60^\circ$。
答案：南偏东 $60^\circ$

11. 已知$a$,$b$,$c满足|a-\sqrt{8}|+\sqrt{b^{2}-10b+25}+(c-\sqrt{18})^{2}= 0$。
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)试问以$a$,$b$,$c$为边能否构成直角三角形,请说明理由。

答案：
(1)解：
∵|a-√8|+√(b²-10b+25)+(c-√18)²=0
且|a-√8|≥0，√(b²-10b+25)=√(b-5)²=|b-5|≥0，(c-√18)²≥0
∴a-√8=0，b-5=0，c-√18=0
∴a=√8=2√2，b=5，c=√18=3√2
(2)解：a²=(2√2)²=8，b²=5²=25，c²=(3√2)²=18
∵8+18=26≠25，8+25=33≠18，18+25=43≠8
∴以a，b，c为边不能构成直角三角形

12. 某校为迎接60周年校庆,准备重新规划一块三角形空地$ABC$,如图,点$D是BC$边上的一点,过点$D建垂直于AC的小路DE$,点$E在AC$边上。经测量,$AB= 26$米,$AD= 24$米,$BD= 10$米,$AC比DC$长12米。
(1)求$\triangle ABD$的面积；
(2)求小路$DE$的长。

答案：
(1) 在△ABD中，AB=26米，AD=24米，BD=10米。
因为 $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$，所以△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°。
$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} × BD × AD = \frac{1}{2} × 10 × 24 = 120$（平方米）。
(2) 设DC=x米，则AC=(x+12)米。
在Rt△ADC中，∠ADC=180°-∠ADB=90°，由勾股定理得：
$AD^2 + DC^2 = AC^2$，即 $24^2 + x^2 = (x + 12)^2$。
展开得：$576 + x^2 = x^2 + 24x + 144$，化简得：24x=432，解得x=18。
所以DC=18米，AC=18+12=30米。
$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} × DC × AD = \frac{1}{2} × 18 × 24 = 216$（平方米）。
又因为 $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} × AC × DE$，即 $216 = \frac{1}{2} × 30 × DE$，解得DE=14.4米。
(1) 120平方米；
(2) 14.4米。