《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

12. 如图,在正方形ABCD中,点P在对角线BD上,$ PE \perp BC $,$ PF \perp CD $,垂足分别为E,F.求证：$ AP = EF $.

答案： 【解析】：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形判定与性质。
首先，连接$PC$和$PE$。
由于$ABCD$是正方形，
根据正方形的对角线性质可得，点$A$和点$C$关于对角线$BD$对称。
因为点$P$在对角线$BD$上，
所以$PA=PC$。
由于$PE\perp BC$和$PF\perp CD$，并且$\angle BCD=90^\circ$，
根据垂直的定义和正方形的性质，可得四边形$PECF$是矩形。
在矩形$PECF$中，根据矩形的对边相等，可得$EF=PC$。
结合前面的结论，可得$AP=EF$。
【答案】：证明：
连接$PC$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore$点$A$和点$C$关于对角线$BD$对称，
$\because$点$P$在对角线$BD$上，
$\therefore PA=PC$，
$\because PE\perp BC$，$PF\perp CD$，$\angle BCD=90^\circ$，
$\therefore$四边形$PECF$是矩形，
$\therefore EF=PC$，
$\therefore AP=EF$。

13. 如图,$ \triangle ABC $中,AD是$ \angle BAC $的平分线,作$ DE // AB $交AC于点E,$ DF // AC $交AB于点F.
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)当$ \triangle ABC $满足条件：∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.

答案：
(1)证明：
∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠FAD=∠ADE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形。
(2)∠BAC=90°