《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

1. 下列四组数据中,不是勾股数的是(D)
A.3,4,5
B.5,12,13
C.8,15,17
D.0.3,0.4,0.5

答案： 解：勾股数是指满足勾股定理的三个正整数。
A. $3^2 + 4^2 = 5^2$，且3,4,5均为正整数，是勾股数；
B. $5^2 + 12^2 = 13^2$，且5,12,13均为正整数，是勾股数；
C. $8^2 + 15^2 = 17^2$，且8,15,17均为正整数，是勾股数；
D. 0.3,0.4,0.5不是正整数，不是勾股数。
结论：D

2. 在$\triangle ABC$中,$∠A$,$∠B$,$∠C的对边分别记为a$,$b$,$c$。下列条件中,不能说明$\triangle ABC$是直角三角形的是(C)
A.$∠A+∠B= ∠C$
B.$a^{2}= b^{2}+c^{2}$
C.$∠A= 2∠B$
D.$a:b:c= 3:4:5$

答案： 解：A. 在$\triangle ABC$中，$∠A+∠B+∠C=180^{\circ}$，若$∠A+∠B=∠C$，则$∠C=90^{\circ}$，能说明是直角三角形；
B. $a^{2}=b^{2}+c^{2}$，符合勾股定理逆定理，能说明是直角三角形；
C. $∠A=2∠B$，无法确定三个角中有一个角为$90^{\circ}$，不能说明是直角三角形；
D. 设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，则$a^{2}+b^{2}=(3k)^{2}+(4k)^{2}=25k^{2}=c^{2}$，能说明是直角三角形。
答案：C

3. 如图,点$A$,$B$,$C$在正方形网格格点上,则$∠ACB$的度数为(B)
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： 解：设每个小正方形边长为1，
则$AC^2=1^2+3^2=10$，$BC^2=1^2+2^2=5$，$AB^2=1^2+2^2=5$，
$\because BC^2+AB^2=5+5=10=AC^2$，且$BC=AB$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ACB=45^{\circ}$。
答案：B

4. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB= BC= 2$,$CD= 3$,$DA= 1$,且$∠B= 90^{\circ}$,则$∠DAB= $C
A.$120^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： 解：连接AC。
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=2²+2²=8，
∴AC=2√2，∠BAC=45°。
在△ADC中，AD=1，CD=3，AC=2√2，
∵AD²+AC²=1²+(2√2)²=1+8=9=3²=CD²，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°。
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°。
答案：C

5. 下列命题中,逆命题是真命题的是(D)
A.等腰三角形的两边长是3和7,则其周长为17
B.若$x= 1$,则$x^{2}= 1$
C.全等三角形的面积相等
D.直角三角形的三边长的比是$3:4:5$

答案： 解：
A. 原命题：等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17。逆命题：周长为17的等腰三角形两边长是3和7。等腰三角形两边长还可能为7和7，周长17时，7+7+3=17，故逆命题为假命题。
B. 原命题：若$x=1$，则$x^2=1$。逆命题：若$x^2=1$，则$x=1$。$x^2=1$时，$x=\pm1$，故逆命题为假命题。
C. 原命题：全等三角形的面积相等。逆命题：面积相等的三角形是全等三角形。面积相等的三角形形状不一定相同，故逆命题为假命题。
D. 原命题：直角三角形的三边长的比是$3:4:5$。逆命题：三边长的比是$3:4:5$的三角形是直角三角形。设三边长为$3k$、$4k$、$5k$，$(3k)^2+(4k)^2=9k^2 + 16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理，故逆命题为真命题。
答案：D

6. 三角形的三边长分别是$1$,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,则三角形的形状是直角三角形。

答案： 解：因为$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$，$(\sqrt{3})^2 = 3$，所以$1^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$。根据勾股定理的逆定理，此三角形是直角三角形。
直角

7. 三角形的三边长为5cm,12cm,13cm,则它最长边上的高为$\frac{60}{13}cm$。

答案： 解：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，
∴ 该三角形为直角三角形，直角边为5cm、12cm，斜边（最长边）为13cm。
设最长边上的高为$h$，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × h$，
解得：$h = \frac{60}{13}$。
故最长边上的高为$\frac{60}{13}cm$。

8. 如图,$\triangle ABC$中,$AD⊥BC于点D$,若$AB= 4cm$,$BC= 5cm$,$AC= 3cm$,则线段$AD$的长度是$\frac{12}{5}\,\text{cm}$。

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$AB=4\,\text{cm}$，$BC=5\,\text{cm}$，$AC=3\,\text{cm}$。
$\because AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2 = BC^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle BAC = 90^\circ$。
$\because AD \perp BC$，
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}BC \cdot AD$。
$\therefore \frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 5 \cdot AD$，
解得$AD = \frac{12}{5}\,\text{cm}$。
$\frac{12}{5}\,\text{cm}$

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$D为AB$上一点,连接$CD$,$BD= 5$,$DC= 12$,$BC= 13$,则$AB= $______。

16.9

答案： 解：在△DBC中，BD=5，DC=12，BC=13。
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，
∴ △DBC是直角三角形，∠BDC=90°。
设AB=AC=x，
∵BD=5，
∴AD=AB-BD=x-5。
在Rt△ADC中，∠ADC=180°-∠BDC=90°，
由勾股定理得：AD² + DC² = AC²，
即 $(x - 5)^2 + 12^2 = x^2$，
展开得：$x^2 - 10x + 25 + 144 = x^2$，
化简得：$-10x + 169 = 0$，
解得：$x = 16.9$。
AB=16.9