《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

16. 先化简,再求值：$(\frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2}+\frac{a}{b - a})÷\frac{b^2}{a^2 - ab}$,其中 $a、b$ 满足 $|a - \sqrt{3}|+\sqrt{b + 1}= 0$.

答案： 解：原式$=[\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}-\frac{a}{a-b}]÷\frac{b^2}{a(a-b)}$
$=(\frac{a+b}{a-b}-\frac{a}{a-b})\cdot\frac{a(a-b)}{b^2}$
$=\frac{b}{a-b}\cdot\frac{a(a-b)}{b^2}$
$=\frac{a}{b}$
因为$|a - \sqrt{3}|+\sqrt{b + 1}= 0$，且$|a - \sqrt{3}|\geq0$，$\sqrt{b + 1}\geq0$，所以$a=\sqrt{3}$，$b=-1$。
则原式$=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$。

17. 已知 $\sqrt[b - a]{3b}$ 和 $\sqrt{2b - a + 2}$ 是相等的最简二次根式.
(1)求 $a,b$ 的值；
(2)求 $\sqrt{b^3 + a^{2014}}$ 的值.

答案：
(1)解：因为$\sqrt[b - a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$是相等的最简二次根式，所以根指数相等且被开方数相等，可得：
$\begin{cases}b - a = 2 \\3b = 2b - a + 2\end{cases}$
由第一个方程得$b = a + 2$，代入第二个方程：
$3(a + 2) = 2(a + 2) - a + 2$
$3a + 6 = 2a + 4 - a + 2$
$3a + 6 = a + 6$
$2a = 0$
$a = 0$
则$b = 0 + 2 = 2$。
(2)解：当$a = 0$，$b = 2$时，
$\sqrt{b^3 + a^{2014}} = \sqrt{2^3 + 0^{2014}} = \sqrt{8 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$