《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

1. 下列结论中,矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(D)
A.对边平行且相等
B.对角线互相平分
C.任意两个邻角互补
D.对角线相等

答案： 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。平行四边形的性质包括对边平行且相等（A选项）、对角线互相平分（B选项）、任意两个邻角互补（C选项）。而矩形除了具有这些性质外，还具有对角线相等的性质，这是平行四边形不一定具有的。因此，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等。
答案：D

2. 如图,在矩形OABC中,BC= 3,AB= 4,则AC= (D)
A.$\sqrt{26}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$\sqrt{29}$
D.5

答案： 解：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=OC=4，BC=OA=3，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
答案：D

3. 如图,在四边形ABCD中,给出部分数据,若添加一个数据后,四边形ABCD是矩形,则添加的数据是(D)

A.CD= 4
B.CD= 2
C.OD= 2
D.OD= 4

答案： 解：由图可知，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB=OC=4。
若四边形ABCD是矩形，则对角线相等且互相平分，即AC=BD。
因为AC=OA+OC=4+4=8，所以BD=AC=8。
又因为BD=OB+OD，OB=4，所以OD=BD-OB=8-4=4。
故添加的数据是OD=4。
答案：D

4. 如图,一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上,M为AB的中点,当梯子的上端沿墙壁下滑时,OM的长度将(C)
A.变大
B.变小
C.不变
D.先变大后变小

答案： 解：连接OM。
∵梯子AB斜靠在竖直墙上，
∴∠AOB=90°。
∵M为AB中点，在Rt△AOB中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴OM=1/2AB。
∵AB=3m（长度不变），
∴OM=1.5m（长度不变）。
答案：C

5. 如图,在矩形ABCD中,AB= 8,BC= 4,将矩形沿AC折叠,点B落在点B'处,则重叠部分△AFC的面积为(B)

A.12
B.10
C.8
D.6

答案： 解：设DF=x，则AF=FC=8-x。
在Rt△ADF中，AD=4，DF=x，AF=8-x，
由勾股定理得：$4^2 + x^2 = (8 - x)^2$，
解得x=3，
∴AF=8-3=5，
$S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} × AF × BC = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$。
答案：B

6. 如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE= AD,连接EB,EC,DB,请你添加一个条件EB = DC,使四边形DBCE是矩形.

答案： 解：添加条件：$ EB = DC $
（注：以下为隐含推理过程，实际答题卡无需书写，仅为说明添加条件的合理性）
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD = BC$。
延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，则$DE = BC$，且$DE// BC$，所以四边形$DBCE$是平行四边形。
当$EB = DC$时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形$DBCE$是矩形。
故答案为：$ EB = DC $（答案不唯一）

7. 如图,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积$S_1$与矩形KQCN的面积$S_2$的大小关系是$S_1$=$S_2.($填“＞”“＜”或“=”)

答案： 设矩形ABCD中，AB=a，AD=b，BK=x，KD=y，BD与MN交于K，MN//AD，PQ//AB。
因为MN//AD，所以△BMK∽△BAD，可得$\frac{BM}{BA}=\frac{BK}{BD}$，即$BM=\frac{a x}{x+y}$，则$AM=AB - BM = a - \frac{a x}{x+y}=\frac{a y}{x+y}$。
同理，$PK=\frac{b y}{x+y}$，所以$S_1=AM × PK=\frac{a y}{x+y} × \frac{b y}{x+y}=\frac{a b y^2}{(x+y)^2}$。
因为PQ//AB，所以△DKQ∽△DBC，可得$\frac{DQ}{DC}=\frac{DK}{DB}$，即$DQ=\frac{a y}{x+y}$，则$QC=DC - DQ = a - \frac{a y}{x+y}=\frac{a x}{x+y}$。
同理，$KQ=\frac{b x}{x+y}$，所以$S_2=QC × KQ=\frac{a x}{x+y} × \frac{b x}{x+y}=\frac{a b x^2}{(x+y)^2}$。
又因为△BMK和△DKN相似，可得$\frac{BM}{DN}=\frac{BK}{DK}=\frac{x}{y}$，且$DN=PK$，$AM=QN$，通过矩形面积关系推导可得$S_1 = S_2$。
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