《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= -2x+4的图象与x$轴、$y轴分别交于点A$、$B$,将直线$AB绕点A顺时针旋转90^{\circ}$,则旋转后的直线的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x - 1$.

答案： 解：对于一次函数$y = -2x + 4$，
令$y = 0$，则$-2x + 4 = 0$，解得$x = 2$，所以点$A$的坐标为$(2, 0)$；
令$x = 0$，则$y = 4$，所以点$B$的坐标为$(0, 4)$。
设点$B$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$后的对应点为$B'$。
过点$B$作$BC \perp x$轴于点$C$，过点$B'$作$B'D \perp x$轴于点$D$，则$BC = 4$，$AC = 2 - 0 = 2$。
因为旋转$90^{\circ}$，所以$\triangle ABC \cong \triangle B'AD$（AAS），则$AD = BC = 4$，$B'D = AC = 2$。
又因为点$A$的坐标为$(2, 0)$，所以点$D$的坐标为$(2 + 4, 0) = (6, 0)$，点$B'$的坐标为$(6, -2)$。
设旋转后的直线表达式为$y = kx + b$，因为直线过点$A(2, 0)$和$B'(6, -2)$，
所以$\begin{cases}2k + b = 0 \\6k + b = -2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\b = -1\end{cases}$。
故旋转后的直线的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x - 1$。

11. 设函数$y= (m-3)x^{3-|m|}+m+2$.
(1)当$m$为何值时,它是一次函数?
(2)当$m$为何值时,它是正比例函数?

答案：
(1) 要使函数$y=(m - 3)x^{3 - |m|} + m + 2$是一次函数，需满足：
$\begin{cases}3 - |m| = 1 \\ m - 3 \neq 0\end{cases}$
由$3 - |m| = 1$，得$|m| = 2$，即$m = \pm 2$。
由$m - 3 \neq 0$，得$m \neq 3$。
综上，$m = 2$或$m = - 2$。
(2) 要使函数是正比例函数，需满足：
$\begin{cases}3 - |m| = 1 \\ m - 3 \neq 0 \\ m + 2 = 0\end{cases}$
由$m + 2 = 0$，得$m = - 2$。
经检验，$m = - 2$满足$3 - |m| = 1$且$m - 3 \neq 0$。
综上，$m = - 2$。

12. 一次函数$y= kx+4的图象经过点A(-3,-2)$.
(1)求这个一次函数的关系式;
(2)判断点$B(-5,3)$是否在这个函数的图象上.

答案：
(1) 解：因为一次函数$y = kx + 4$的图象经过点$A(-3, -2)$，所以将$x=-3$，$y=-2$代入函数关系式，得$-2 = -3k + 4$，解得$k = 2$，所以这个一次函数的关系式为$y = 2x + 4$。
(2) 解：将$x=-5$代入$y = 2x + 4$，得$y=2×(-5)+4=-10 + 4=-6$。因为$-6\neq3$，所以点$B(-5,3)$不在这个函数的图象上。