《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

1. 先阅读下面例题的解答过程,然后作答.
例题：化简$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$.
解：先观察$8 + 2\sqrt{15}$,
由于$8 = 5 + 3$,即$8 = (\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{3})^{2}$,且$15 = 5×3$,即$2\sqrt{15} = 2×\sqrt{5}×\sqrt{3}$,
则有$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$,试用上述例题的方法化简：$\sqrt{15 + 4\sqrt{14}} = $(D)
A.$\sqrt{2} + \sqrt{13}$
B.$2 + \sqrt{11}$
C.$1 + \sqrt{14}$
D.$\sqrt{7} + 2\sqrt{2}$

答案： D 解析：$\sqrt {15+4\sqrt {14}}=\sqrt {15+2\sqrt {56}}$，由$15=8+7$，即$15=(2\sqrt {2})^{2}+(\sqrt {7})^{2}$，则$\sqrt {15+2\sqrt {56}}=\sqrt {(2\sqrt {2}+\sqrt {7})^{2}}=2\sqrt {2}+\sqrt {7}$，$\therefore \sqrt {15+4\sqrt {14}}=2\sqrt {2}+\sqrt {7}$．故选 D．

2. 阅读下面的计算过程：
计算：$(\sqrt{24} + \sqrt{50})÷\sqrt{2} - 9\sqrt{\frac{1}{3}}$.
原式$= \sqrt{24}÷\sqrt{2} + \sqrt{50}÷\sqrt{2} - \sqrt{81×\frac{1}{3}}$(第一步)
$= \sqrt{12} + \sqrt{25} - \sqrt{27}$(第二步)
$= 2\sqrt{3} + 5 - 9\sqrt{3}$(第三步)
$= 5 - 7\sqrt{3}$(第四步)
其中首先错误的一步是(C)
A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步

答案： 解：第一步：原式$= \sqrt{24}÷\sqrt{2} + \sqrt{50}÷\sqrt{2} - \sqrt{81×\frac{1}{3}}$，正确。
第二步：$= \sqrt{12} + \sqrt{25} - \sqrt{27}$，正确。
第三步：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，应为$2\sqrt{3} + 5 - 3\sqrt{3}$，错误。
第四步：由第三步错误结果得出，不考虑。
首先错误的一步是第三步。
答案：C

3. 我们学完二次根式后,爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算$2^{2}$,$3^{-2}$的值,那我们可以算$2^{\frac{1}{2}}$,$3^{\frac{2}{3}}$的值吗？金老师说：也是可以的,你们可以查阅资料来进行学习. 他们查阅资料后,发现了这样的结论：$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^{n}}$($a≥0$),例如：$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$,$4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^{3}} = \sqrt{64} = 8$,那请你根据以上材料,写出$3^{\frac{1}{2}} = $$\sqrt{3}$,$8^{\frac{2}{3}} = $4.

答案： $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$；
$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4$
答案：$\sqrt{3}$；4

4. 阅读以下材料：如果两个正数$a$,$b$,即$a＞0$,$b＞0$,则有下面的不等式：$\frac{a + b}{2}≥\sqrt{ab}$,当且仅当$a = b$时取到等号. 则函数$y = 2x + \frac{3}{x}(x＜0)$的最大值为______.(提示：可以先求$-y$的最小值)
$-2\sqrt{6}$

答案： 解：因为$x ＜ 0$，设$t=-x$，则$t ＞ 0$，$x=-t$。
$y = 2x+\frac{3}{x}=-2t-\frac{3}{t}=-(2t+\frac{3}{t})$
对于$2t+\frac{3}{t}(t ＞ 0)$，由均值不等式$\frac{a + b}{2}≥\sqrt{ab}$（$a ＞ 0$，$b ＞ 0$），
令$a = 2t$，$b=\frac{3}{t}$，则$\frac{2t+\frac{3}{t}}{2}≥\sqrt{2t\cdot\frac{3}{t}}=\sqrt{6}$，
即$2t+\frac{3}{t}≥2\sqrt{6}$，当且仅当$2t=\frac{3}{t}$，$t^{2}=\frac{3}{2}$，$t=\frac{\sqrt{6}}{2}$（$t ＞ 0$）时取等号。
所以$-(2t+\frac{3}{t})≤-2\sqrt{6}$，即$y≤-2\sqrt{6}$。
故函数$y = 2x+\frac{3}{x}(x ＜ 0)$的最大值为$-2\sqrt{6}$。
$-2\sqrt{6}$