《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

10. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,把$\mathrm{Rt}\triangle ABC绕点B$逆时针旋转,得到$\mathrm{Rt}\triangle DBE$,点$E在AB$上,若$BC = 8$,$AC = 6$,求$DE及BD$的长.

答案： 解：在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 8$，$AC = 6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。
因为$\mathrm{Rt}\triangle ABC$绕点$B$逆时针旋转得到$\mathrm{Rt}\triangle DBE$，
所以$\triangle ABC≌\triangle DBE$，
所以$DE = AC = 6$，$BD = BA = 10$。
答：$DE$的长为$6$，$BD$的长为$10$。

11. 如图,在平面直角坐标系中,长方形$ABCO的边OC$,$OA分别在x$轴、$y$轴上,已知$B(m,4)(m ＞ 0)$,$AB上有一动点P(n,4)$,将$\triangle OAP绕着点O顺时针旋转60^{\circ}得到\triangle OA_1P_1$.

(1) 点$A_1$的坐标为______,连接$PP_1$,若$PP_1\perp AB$,则$n$的值为______;
(2) 已知$m - n = 2\sqrt{3}$. 当点$P_1落在OC$边上时,求$CP_1$的长.

答案：
解：
(1)$(2\sqrt{3},2)$；$4\sqrt{3}$；
(2) 连接 $PP_1$，过 $P$ 作 $PF\perp x$ 轴于 $F$，如图， $\because\triangle POP_1$是等边三角形，$PF\perp x$ 轴，$\therefore P_1F = \frac{1}{2}OP_1 = \frac{1}{2}PP_1$，$\because PF = 4$.$\therefore P_1F = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.$\because m - n = 2\sqrt{3}$，即 $BP = 2\sqrt{3} = CF$，$\therefore CP_1 = CF - P_1F = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.