《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

7. 如图,$□ ABCD的对角线相交于点O$,过点$O作OM \perp AC交AD于点M$,$\triangle CDM$的周长为 8,则$□ ABCD$的周长是______。

16

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD。
∵OM⊥AC，
∴OM垂直平分AC，
∴AM=CM。
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=8，
即AM+DM+CD=AD+CD=8。
∴□ABCD的周长=2(AD+CD)=2×8=16。
16

8. 如图,在$□ ABCD$中,$AB = 10$,$AD = 6$。利用尺规在$BC$,$BA上分别截取BE$,$BF$,使$BE = BF$；分别以$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧在$\angle CBA内交于点G$；作射线$BG交DC于点H$,则$DH$的长为4。

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=10，AB//CD，AD=BC=6。
由尺规作图可知，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG。
∵AB//CD，
∴∠ABG=∠CHB，
∴∠CBG=∠CHB，
∴CH=BC=6。
∴DH=CD-CH=10-6=4。
答案：4

9. 如图,平行四边形$ABCD$中,点$E在边AD$上,以$BE$为折痕,将$\triangle ABE$向上翻折,点$A正好落在边CD上的点F$,若$\triangle FDE$的周长为 8,$\triangle FCB$的周长为 22,则$FC$的长为______7。

答案： 解：设 $ DF = x $，$ FC = y $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AD = BC $，$ CD = AB $，$ CD = DF + FC = x + y $。
由折叠性质得：$ AE = EF $，$ AB = BF $。
∵ $ \triangle FDE $ 的周长为 8，
∴ $ DE + EF + DF = DE + AE + DF = AD + DF = 8 $，即 $ AD = 8 - x $，故 $ BC = 8 - x $。
∵ $ \triangle FCB $ 的周长为 22，
∴ $ FC + BC + BF = y + BC + AB = 22 $。
又 $ AB = CD = x + y $，
∴ $ y + (8 - x) + (x + y) = 22 $，
化简得 $ 2y + 8 = 22 $，解得 $ y = 7 $。
7

10. 如图,在$□ ABCD$中,$E$,$F分别是AB$,$DC$边上的点,$AF与DE交于点P$,$BF与CE交于点Q$,若$S_{\triangle APD} = 20cm^{2}$,$S_{\triangle BQC} = 30cm^{2}$,则图中阴影部分的面积为______$cm^{2}$。

50

答案： 解：连接EF。
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AB=CD。
由于AE//DF，四边形AEFD是梯形，根据梯形蝴蝶定理，S△EFP=S△APD=20cm²。
同理，BE//CF，四边形BEFC是梯形，根据梯形蝴蝶定理，S△EFQ=S△BQC=30cm²。
阴影部分面积=S△EFP+S△EFQ=20+30=50cm²。
答案：50

11. 如图,$□ ABCD$中,$E$,$F为对角线AC$上的两点,且$BE // DF$。求证：$AE = CF$。

答案： 【解析】：本题主要考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质。
在平行四边形$ABCD$中，已知$AB// CD$，$AB = CD$。
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BAE=\angle DCF$。
因为$BE// DF$，同样根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle DFA=\angle BEC$，进而得到$\angle AEB=\angle CFD$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\angle BAE=\angle DCF$，$AB = CD$，$\angle AEB=\angle CFD$，根据“角边角”（$ASA$）定理可判定这两个三角形全等。
全等三角形的对应边相等，所以由$\triangle ABE\cong\triangle CDF$可推出$AE = CF$。
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$（平行四边形的性质）。
∴$\angle BAE=\angle DCF$（两直线平行，内错角相等）。
∵$BE// DF$，
∴$\angle DFA=\angle BEC$（两直线平行，内错角相等）。
∴$\angle AEB=\angle CFD$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}\angle BAE=\angle DCF \\ AB = CD \\ \angle AEB=\angle CFD\end{cases}$
∴$\triangle ABE\cong\triangle CDF(ASA)$（全等三角形判定定理）。
∴$AE = CF$（全等三角形的性质）。
【答案】：证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$。
∴$\angle BAE=\angle DCF$。
∵$BE// DF$，
∴$\angle DFA=\angle BEC$。
∴$\angle AEB=\angle CFD$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}\angle BAE=\angle DCF \\ AB = CD \\ \angle AEB=\angle CFD\end{cases}$
∴$\triangle ABE\cong\triangle CDF(ASA)$。
∴$AE = CF$。

12. 如图,平行四边形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,且$AC + BD = 36cm$,$AB:AD = 2:3$,周长为 40cm。
(1)求$AB$的长；
(2)求$\triangle OCD$的周长。

答案：
(1) 解：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD = BC$。设$AB = 2x$，$AD = 3x$，平行四边形周长为$2(AB + AD)=40$，即$2(2x + 3x)=40$，$10x = 40$，解得$x = 4$，所以$AB = 2x = 8cm$。
(2) 解：因为平行四边形对角线互相平分，所以$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，$CD = AB = 8cm$。$AC + BD = 36cm$，则$OC + OD=\frac{1}{2}(AC + BD)=18cm$，所以$\triangle OCD$的周长为$OC + OD + CD=18 + 8=26cm$。