《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

1. 已知,如图,在$\triangle AOB$中$,\angle AOB = 90^{\circ},AO = 3\mathrm{cm},BO = 4\mathrm{cm}. $将$\triangle AOB$绕顶点O按顺时针方向旋转到$\triangle A_1OB_1$处,此时线段$OB_1$与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段BD的长是 (D)

A.$1.5\mathrm{cm}$
B.$3\mathrm{cm}$
C.$5\mathrm{cm}$
D.$2.5\mathrm{cm}$

答案： 解：在$Rt\triangle AOB$中，$\angle AOB=90^{\circ}$，$AO=3\mathrm{cm}$，$BO=4\mathrm{cm}$，
由勾股定理得$AB= \sqrt{AO^{2}+BO^{2}}= \sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\mathrm{cm}$。
因为$D$为$AB$的中点，所以$BD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×5=2.5\mathrm{cm}$。
答案：D

2. 如图所示,有一块直角三角形纸片$ABC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 12\mathrm{cm}$,$BC = 9\mathrm{cm}$. 将斜边$AB翻折使点B落在直角边AC的延长线上的点E$处,折痕为$AD$,则$CD$的长为 (B)

A.$3\mathrm{cm}$
B.$4\mathrm{cm}$
C.$5\mathrm{cm}$
D.$\sqrt{17}\mathrm{cm}$

答案： 解：设$CD = x\ \text{cm}$，则$BD = BC - CD = (9 - x)\ \text{cm}$。
由折叠性质得：$AE = AB$，$DE = BD = (9 - x)\ \text{cm}$。
在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\ \text{cm}$，故$AE = 15\ \text{cm}$。
$CE = AE - AC = 15 - 12 = 3\ \text{cm}$。
在$\text{Rt}\triangle CDE$中，$CE^2 + CD^2 = DE^2$，即$3^2 + x^2 = (9 - x)^2$。
解得$x = 4$。
$\therefore CD = 4\ \text{cm}$。
答案：B

3. 如图,已知长方形$ABCD沿着直线BD$折叠,使点$C落在点C'$处,$BC'交AD于点E$,$AD = 16$,$AB = 8$,则$DE$的长为 (B)

A.$9$
B.$10$
C.$11$
D.$12$

答案： 解：设 $DE = x$，则 $AE = AD - DE = 16 - x$。
因为长方形 $ABCD$ 沿 $BD$ 折叠，所以 $\angle C'BD = \angle CBD$，$BC' = BC = AD = 16$，$C'D = CD = AB = 8$。
由于 $AD // BC$，所以 $\angle ADB = \angle CBD$，进而 $\angle ADB = \angle C'BD$，故 $BE = DE = x$。
在 $Rt\triangle ABE$ 中，由勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，即 $8^2 + (16 - x)^2 = x^2$。
展开得：$64 + 256 - 32x + x^2 = x^2$，化简得：$320 - 32x = 0$，解得 $x = 10$。
所以 $DE$ 的长为 $10$。
答案：B

4. 如图,在平面直角坐标系中,将长方形$AOCD沿直线AE$折叠(点$E在边DC$上),折叠后顶点$D恰好落在边OC上的点F$处. 若点$D的坐标为(10,8)$,则点$E$的坐标为 (A)
A.$(10,3)$
B.$(10,4)$
C.$(10,5)$
D.$(10,6)$

答案： 解：
∵四边形AOCD是长方形，D(10,8)，
∴AO=CD=8，OC=AD=10，∠AOC=∠OCD=90°。
由折叠性质得：AF=AD=10，EF=DE。
在Rt△AOF中，OF=$\sqrt{AF^2 - AO^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=6$，
∴CF=OC - OF=10 - 6=4。
设E(10, y)，则CE=y，DE=CD - CE=8 - y，EF=DE=8 - y。
在Rt△CEF中，CF² + CE²=EF²，
即$4^2 + y^2=(8 - y)^2$，
解得y=3。
∴E(10,3)。
答案：A