《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(D)
A.对角线互相垂直
B.对角线互相平分
C.每条对角线平分一组对角
D.对角线相等

答案： 解：矩形的性质：对角线互相平分且相等；菱形的性质：对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
选项分析：
A. 对角线互相垂直，菱形具有，矩形不一定具有；
B. 对角线互相平分，矩形和菱形都具有；
C. 每条对角线平分一组对角，菱形具有，矩形不一定具有；
D. 对角线相等，矩形具有，菱形不一定具有。
答案：D

2. 在平行四边形 $ABCD$ 中,$AB = 5\mathrm{cm}$,已知对角线 $AC$,$BD$ 相交于 $O$,且 $AC = 6\mathrm{cm}$,$BD = 8\mathrm{cm}$,则平行四边形 $ABCD$ 的面积为(B)
A.$15\mathrm{cm}^2$
B.$24\mathrm{cm}^2$
C.$48\mathrm{cm}^2$
D.$20\mathrm{cm}^2$

答案： 解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=\frac{1}{2}AC=3\mathrm{cm}$，$OB=\frac{1}{2}BD=4\mathrm{cm}$。
在$\triangle AOB$中，$OA^2 + OB^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，$AB^2 = 5^2 = 25$，
∴$OA^2 + OB^2 = AB^2$，
∴$\angle AOB = 90^\circ$，即对角线$AC \perp BD$。
∴平行四边形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\mathrm{cm}^2$。
答案：B

3. 在四边形 $ABCD$ 中,若两条对角线 $AC = BD$ 且 $AC\perp BD$,则这个四边形(B)
A.一定是平行四边形
B.可能不是平行四边形
C.一定是矩形
D.一定是菱形

答案： 解：在四边形ABCD中，对角线AC=BD且AC⊥BD。
- 平行四边形要求对角线互相平分，题目未提及此条件，故不一定是平行四边形。
- 矩形要求对角线相等且互相平分，菱形要求对角线互相垂直平分，均不满足仅AC=BD且AC⊥BD的条件。
- 例如，构造一个对角线AC=BD且AC⊥BD但不互相平分的四边形，该四边形不是平行四边形。
结论：这个四边形可能不是平行四边形。
答案：B

4. 如图,在平面直角坐标系中,菱形 $ABCD$ 的顶点 $D$ 在 $x$ 轴上,边 $BC$ 在 $y$ 轴上,若点 $A$ 的坐标为 $(12,13)$,则点 $C$ 的坐标是(B)
A.$(0,-8)$
B.$(0,-5)$
C.$(-5,0)$
D.$(0,-6)$

答案： 解：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点A的坐标为(12,13)，
∴AE=13，OE=12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AD//BC，
∵BC在y轴上，
∴AD⊥x轴，
∴点D的坐标为(12,0)，OD=12，
设点C的坐标为(0,c)，则CD²=12²+c²，AD=13，
∵AD=CD，
∴12²+c²=13²，
解得c=-5（c=5舍去），
∴点C的坐标是(0,-5)。
答案：B

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$,$E$,$F$ 分别在边 $BC$,$AB$,$CA$ 上,且 $DE// CA$,$DF// BA$。下列四个说法,正确的个数为( )D
① 四边形 $AEDF$ 是平行四边形；
② 如果 $\angle BAC = 90^{\circ}$,则四边形 $AEDF$ 是矩形；
③ 如果 $AD$ 平分 $\angle BAC$,则四边形 $AEDF$ 是菱形；
④ 如果 $AD\perp BC$ 且 $AB = AC$,则四边形 $AEDF$ 是菱形。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 解：①
∵DE//CA，DF//BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，①正确；
②
∵∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，②正确；
③
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DF//BA，
∴∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，③正确；
④
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，由③知四边形AEDF是菱形，④正确。
综上，正确的个数为4，答案选D。

6. 如图所示,平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$,试添加一个条件：$AD = DC$（答案不唯一）,使得平行四边形 $ABCD$ 为菱形。

答案： $AD = DC$（答案不唯一）