《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

5. 阅读材料：因为$2＜\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}的整数部分为2$,$\sqrt{6}的小数部分为\sqrt{6} - 2$.
解决问题：若$\sqrt{7}的整数部分为m$,小数部分为$n$,求$n(m + n)$的值.

答案： 解：因为$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，所以$\sqrt{7}$的整数部分$m = 2$，小数部分$n=\sqrt{7}-2$。
则$m + n=\sqrt{7}$，所以$n(m + n)=(\sqrt{7}-2)×\sqrt{7}=7 - 2\sqrt{7}$。
答案：$7 - 2\sqrt{7}$

6. 阅读材料：把根式$\sqrt{x ± 2\sqrt{y}}$进行化简,若能找到两个数$m$,$n$,使$m^{2} + n^{2} = x且mn = \sqrt{y}$,则把$\sqrt{x ± 2\sqrt{y}}变成m^{2} + n^{2} ± 2mn = (m ± n)^{2}$,开方,从而使得$\sqrt{x ± 2\sqrt{y}}$化简.
例如：化简$\sqrt{3 ± 2\sqrt{2}}$.
解：$\because 3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = 1^{2} + (\sqrt{2})^{2} + 2×1×2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$.
$\therefore \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^{2}} = 1 + \sqrt{2}$.
请你仿照上面的方法,化简下列各式：
(1)$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$；
(2)$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.

答案： 解：（1）$\because 5+2\sqrt {6}=2+3+2\sqrt {6}=(\sqrt {2})^{2}+(\sqrt {3})^{2}+2×\sqrt {2}×\sqrt {3}=(\sqrt {2}+\sqrt {3})^{2}$，$\therefore \sqrt {5+2\sqrt {6}}=\sqrt {(\sqrt {2}+\sqrt {3})^{2}}=\sqrt {2}+\sqrt {3}$；
（2）$\because 7-4\sqrt {3}=3+4-4\sqrt {3}=(\sqrt {3})^{2}+2^{2}-2×2×\sqrt {3}=(2-\sqrt {3})^{2}$，$\therefore \sqrt {7-4\sqrt {3}}=\sqrt {(2-\sqrt {3})^{2}}=2-\sqrt {3}$．

7. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \frac{1×(\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4})(\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{4})^{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$；
$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{1×(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2} - (\sqrt{5})^{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$.
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程,请写出$\frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}} = $______$\sqrt{2023}-\sqrt{2022}$；
(2)请你用含$n$($n$为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律______$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
(3)利用上面的解法,请化简：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + … + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$.
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+... +\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
$=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+... +\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}$
$=-\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}+... -\sqrt{99}+\sqrt{100}=-1+\sqrt{100}=-1+10=9$．

答案： 解：（1）$\sqrt {2023}-\sqrt {2022}$；
（2）$\frac {1}{\sqrt {n+1}+\sqrt {n}}=\sqrt {n+1}-\sqrt {n}$；
（3）$\frac {1}{1+\sqrt {2}}+\frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}}+\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {4}}+... +\frac {1}{\sqrt {98}+\sqrt {99}}+\frac {1}{\sqrt {99}+\sqrt {100}}$
$=\sqrt {2}-\sqrt {1}+\sqrt {3}-\sqrt {2}+\sqrt {4}-\sqrt {3}+... +\sqrt {99}-\sqrt {98}+\sqrt {100}-\sqrt {99}$
$=-\sqrt {1}+\sqrt {2}-\sqrt {2}+\sqrt {3}-\sqrt {3}+\sqrt {4}-\sqrt {4}+... -\sqrt {99}+\sqrt {100}=-1+\sqrt {100}=-1+10=9$．