《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

13. 如图,$□ ABCD$中,$BD \perp AD$,$\angle A = 45^{\circ}$,$E$,$F分别是AB$,$CD$上的点,且$BE = DF$,连接$EF交BD于点O$。
(1)求证：$BO = DO$；
(2)若$EF \perp AB$,延长$EF交AD的延长线于点G$,当$FG = 1$时,求$AD$的长。

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$，
∴ $\angle OBE = \angle ODF$。
∵ $BE = DF$，$\angle BOE = \angle DOF$，
∴ $\triangle BOE \cong \triangle DOF$（AAS），
∴ $BO = DO$。
(2) 解：
∵ $BD \perp AD$，$\angle A = 45^\circ$，
∴ $\triangle ABD$ 是等腰直角三角形，$AD = BD$。
设 $AD = BD = x$，则 $AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2}x$。
∵ $EF \perp AB$，$AB // CD$，
∴ $EF \perp CD$，$\angle GEA = \angle GFD = 90^\circ$。
∵ $AB // CD$，$BO = DO$，
∴ $EO = FO$。
设 $EO = FO = y$，则 $EF = 2y$。
∵ $\angle A = 45^\circ$，$\angle GEA = 90^\circ$，
∴ $\triangle GEA$ 是等腰直角三角形，$AE = GE = AG - AE$，
又 $\angle GDF = 90^\circ$，$\angle G = \angle A = 45^\circ$，
∴ $\triangle GFD$ 是等腰直角三角形，$GF = FD = 1$，
∴ $FD = 1$，$GD = \sqrt{GF^2 + FD^2} = \sqrt{2}$。
∵ $BE = DF = 1$，$AB = \sqrt{2}x$，
∴ $AE = AB - BE = \sqrt{2}x - 1$。
∵ $AE = GE = GF + FE = 1 + 2y$，
∴ $\sqrt{2}x - 1 = 1 + 2y$ ①。
∵ $AD = x$，$GD = \sqrt{2}$，
∴ $AG = AD + GD = x + \sqrt{2}$。
∵ $\triangle GEA$ 是等腰直角三角形，$AG = \sqrt{2}AE$，
∴ $x + \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}x - 1)$，
解得 $x = 2\sqrt{2}$，
∴ $AD = 2\sqrt{2}$。
答案：
(1) 见证明；
(2) $2\sqrt{2}$。