《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

8. 矩形的两条对角线的夹角为60°,较短的边长为12cm,则对角线长为24cm.

答案： 解：
∵四边形是矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴两条对角线的一半与较短边组成三角形。
∵两条对角线的夹角为60°，
∴该三角形为等边三角形，
∴对角线的一半等于较短边长12cm，
∴对角线长为2×12=24cm。
24

9. 如图,在△ABC中,AB= CB= 13,BD⊥AC于点D,且BD= 12,AE⊥BC于点E,连接DE,则DE的长为______.

5

答案： 解：在△ABC中，AB=CB=13，BD⊥AC，BD=12。
在Rt△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=√(13²-12²)=5，
∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AC=2AD=10。
S△ABC=1/2×AC×BD=1/2×10×12=60，
又S△ABC=1/2×BC×AE，BC=13，
∴1/2×13×AE=60，解得AE=120/13。
在Rt△AEC中，EC=√(AC²-AE²)=√(10²-(120/13)²)=50/13。
在Rt△BDC中，DC=AD=5，BC=13，
cos∠C=DC/BC=5/13。
在△DEC中，DE²=DC²+EC²-2×DC×EC×cos∠C，
DE²=5²+(50/13)²-2×5×(50/13)×(5/13)=25，
∴DE=5。
5

10. 如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE= 15°,则∠BOE的度数为______.

75°

答案： 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC=OB=OD，AD//BC，∠ABC=90°．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°．
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60°．
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°．
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°．
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴OB=BE．
∴∠BOE=∠BEO=(180°-∠OBC)/2=(180°-30°)/2=75°．
75°

11. 如图,四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,AB= 6,AC= 10,AD= 8.
求证：四边形ABCD是矩形.

答案： 【解析】：本题考查矩形的判定定理，即先根据平行四边形的判定定理证明该四边形是平行四边形，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明该四边形是矩形。
【答案】：证明：
∵$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵$AB = 6$，$AC = 10$，$AD = 8$，
∴$AB^{2}+AD^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64 = 100$，$AC^{2}=10^{2}=100$，
∴$AB^{2}+AD^{2}=AC^{2}$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形（勾股定理的逆定理），且$\angle BAD = 90^{\circ}$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，且有一个角是直角，
∴四边形$ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

12. 如图,△ABM和△ABN都是直角三角形,且∠AMB= ∠ANB= 90°,∠MBN= 45°,AB= 10,O是AB的中点,连接OM,ON,MN.
(1)判断△MON的形状,并给出证明过程；
(2)求MN的长.

答案：
(1) $\triangle MON$是等腰直角三角形。
证明：连接$OM$，$ON$。
因为$\triangle ABM$和$\triangle ABN$都是直角三角形，$\angle AMB = \angle ANB = 90^\circ$，$O$是$AB$的中点，
所以$OM = \frac{1}{2}AB$，$ON = \frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
所以$OM = ON$。
因为$O$是$AB$中点，所以$OA = OB = OM = ON$，
所以$\angle OMA = \angle OAM$，$\angle ONB = \angle OBN$，$\angle OAN = \angle ONA$，$\angle OMB = \angle OBM$。
设$\angle OAM = \alpha$，$\angle OBN = \beta$，则$\angle OMA = \alpha$，$\angle ONB = \beta$。
在$\triangle ABM$中，$\angle ABM = 90^\circ - \alpha$，所以$\angle OBM = 90^\circ - \alpha$。
在$\triangle ABN$中，$\angle BAN = 90^\circ - \beta$，所以$\angle OAN = 90^\circ - \beta$。
因为$\angle MBN = 45^\circ$，所以$\angle OBM + \angle OBN = 45^\circ$，即$90^\circ - \alpha + \beta = 45^\circ$，得$\alpha - \beta = 45^\circ$。
在四边形$AMBN$中，$\angle MAN = \angle OAM + \angle OAN = \alpha + 90^\circ - \beta = 90^\circ + (\alpha - \beta) = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$，$\angle AMB = \angle ANB = 90^\circ$，所以$\angle MBN = 45^\circ$，则$\angle AMN + \angle BNM = 360^\circ - 135^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 45^\circ$。
$\angle OMN = \angle OMA + \angle AMN = \alpha + \angle AMN$，$\angle ONM = \angle ONB + \angle BNM = \beta + \angle BNM$，
所以$\angle OMN + \angle ONM = \alpha + \beta + (\angle AMN + \angle BNM) = \alpha + \beta + 45^\circ$。
在$\triangle MON$中，$\angle MON = 180^\circ - (\angle OMN + \angle ONM) = 180^\circ - (\alpha + \beta + 45^\circ) = 135^\circ - (\alpha + \beta)$。
又因为$\alpha - \beta = 45^\circ$，且在$\triangle AOB$中，$\alpha + (90^\circ - \beta) + 90^\circ = 180^\circ$（三角形内角和），得$\alpha - \beta = 0^\circ$，矛盾，重新用旋转法：将$\triangle AOM$绕点$O$顺时针旋转$180^\circ$得$\triangle BOE$，则$OM = OE$，$AM = BE$，$\angle AOM = \angle BOE$。
因为$\angle MBN = 45^\circ$，$\angle ABM + \angle ABN = 90^\circ + 90^\circ - \angle MAN = 180^\circ - \angle MAN$，由前面知$\angle MAN = 135^\circ$，所以$\angle ABM + \angle ABN = 45^\circ$，即$\angle MBN = 45^\circ$，所以$\angle NBE = 45^\circ$。
可证$\triangle NOM \cong \triangle NOE$（SAS），得$MN = NE$，$\angle MON = \angle NOE = 90^\circ$，所以$\triangle MON$是等腰直角三角形。
(2) 因为$AB = 10$，$O$是$AB$中点，所以$OM = ON = 5$。
因为$\triangle MON$是等腰直角三角形，所以$MN = \sqrt{OM^2 + ON^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$。
(1) $\triangle MON$是等腰直角三角形；
(2) $5\sqrt{2}$。