《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

13. 如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,且AF= DC,连接CF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)如果AB= AC,试猜测四边形ADCF的形状,并证明你的结论.

答案：
(1)证明：
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠DBE\\ ∠FAE=∠BDE\\ AE=DE\end{array}\right. $
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC，
∴D是BC的中点．
(2)四边形ADCF是矩形．
证明：
∵AF=DC，AF//DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是矩形．