《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

12. 已知 $m= \sqrt{18}$.
(1)将 $m$ 化为最简二次根式是$3\sqrt{2}$；
(2)若 $m÷■= \sqrt{6}$,则“$■$”表示的数是$\sqrt{3}$.

答案：
(1) $ m = \sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2} $，故答案为 $ 3\sqrt{2} $；
(2) 设“$■$”表示的数是 $ x $，则 $ m ÷ x = \sqrt{6} $，即 $ 3\sqrt{2} ÷ x = \sqrt{6} $，解得 $ x = 3\sqrt{2} ÷ \sqrt{6} = 3\sqrt{\frac{2}{6}} = 3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $，故答案为 $ \sqrt{3} $。

13. 判断下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是.为什么？
(1)$\sqrt{3a^2b}$；(2)$\sqrt{x^2 + y^2}$；(3)$\sqrt{6}$；(4)$\sqrt{\frac{xy^2}{2}}$；(5)$\sqrt{0.21}$.

答案： 解：
(2)
(3)是最简二次根式，
(1)
(4)
(5)不是。
理由：
(1)被开方数含有能开得尽方的因式$a^2$；
(2)被开方数$x^2 + y^2$不含能开得尽方的因式或因数，且不含分母；
(3)被开方数6不含能开得尽方的因数，且不含分母；
(4)被开方数含有分母，且含有能开得尽方的因式$y^2$；
(5)被开方数0.21是小数，可化为分数，即被开方数含有分母。

14. 化简：
(1)$\sqrt{\frac{12}{25}}$；(2)$\sqrt{27}$；(3)$\sqrt{\frac{3}{13}}$.

答案：
(1)$\sqrt{\frac{12}{25}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{25}}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
(2)$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{\frac{3}{13}}=\sqrt{\frac{3×13}{13×13}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$.

15. 计算：
(1)$2\sqrt{14}×3\sqrt{7}$；
(2)$\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}$；
(3)$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{12}}÷\sqrt{\frac{54}{12}}×\sqrt{\frac{3}{6}}$；
(4)$\sqrt{ab^3}\cdot(-\frac{3}{2}\sqrt{a^3b})÷(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}})$.

答案：
(1)解：$2\sqrt{14}×3\sqrt{7}$
$=2×3×\sqrt{14×7}$
$=6×\sqrt{98}$
$=6×7\sqrt{2}$
$=42\sqrt{2}$
(2)解：$\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}$
$=\sqrt{\frac{5}{3}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}$
$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{5}{6}}$
$=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{6}{5}}$
$=\sqrt{2}$
(3)解：$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{12}}÷\sqrt{\frac{54}{12}}×\sqrt{\frac{3}{6}}$
$=\sqrt{\frac{9}{12}}÷\sqrt{\frac{54}{12}}×\sqrt{\frac{3}{6}}$
$=\sqrt{\frac{9}{12}÷\frac{54}{12}×\frac{3}{6}}$
$=\sqrt{\frac{9}{12}×\frac{12}{54}×\frac{3}{6}}$
$=\sqrt{\frac{9×3}{54×6}}$
$=\sqrt{\frac{27}{324}}$
$=\sqrt{\frac{1}{12}}$
$=\frac{\sqrt{3}}{6}$
(4)解：$\sqrt{ab^3}\cdot(-\frac{3}{2}\sqrt{a^3b})÷(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}})$
$=b\sqrt{ab}\cdot(-\frac{3}{2}a\sqrt{ab})÷(\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{ab}}{a})$
$=-\frac{3}{2}ab\sqrt{ab}\cdot\sqrt{ab}÷(\frac{\sqrt{ab}}{3a})$
$=-\frac{3}{2}ab\cdot ab×\frac{3a}{\sqrt{ab}}$
$=-\frac{9}{2}a^{3}b^{2}×\frac{\sqrt{ab}}{ab}$
$=-\frac{9}{2}a^{2}b\sqrt{ab}$
$=-\frac{9}{2}a^{2}|b|\sqrt{ab}$