《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

13. 如图,在一次地震中,一棵垂直于地面且高度为 16 米的大树被折断,树的顶部落在离树根 8 米处,即$BC= 8$米,求这棵树在离地面多高处被折断(即求 AC 的长度)。

答案： 解：设这棵树在离地面 $ AC = x $ 米处被折断，则折断部分 $ AB = (16 - x) $ 米。
在直角三角形 $ ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^\circ $，根据勾股定理得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $
即：
$ x^2 + 8^2 = (16 - x)^2 $
展开并化简方程：
$ x^2 + 64 = 256 - 32x + x^2 $
$ 64 = 256 - 32x $
$ 32x = 256 - 64 $
$ 32x = 192 $
$ x = 6 $
答：这棵树在离地面 6 米处被折断。

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= \sqrt{5}$,$BC= 2\sqrt{5}$.
(1)求 AB 的长度；
(2)已知 D 是 AB 上一点,连接 CD,当 CD 的长度最短时,求 AD 的长度。

答案：
(1)解：在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{5}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5 + 20}=\sqrt{25}=5$。
(2)解：当$CD\perp AB$时，$CD$长度最短。$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，即$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×5× CD$，$5=\frac{5}{2}CD$，解得$CD=2$。在$Rt\triangle ACD$中，$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}}=\sqrt{5 - 4}=1$。