《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是AB$,$AC$的中点,$F是DE$延长线上的点,且$EF = DE$,$S_{\triangle AEF} = 7$,图中有2个平行四边形,四边形$BCFD$的面积为28。

答案： 解：
平行四边形个数：
1.
∵D，E分别是AB，AC中点，
∴DE是△ABC中位线，DE//BC，DE=1/2BC。
2.
∵EF=DE，
∴DF=DE+EF=2DE=BC，又DF//BC，
∴四边形BCFD是平行四边形。
3. 连接AF，CD，易证AE=EC，DE=EF，∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD=CF，∠ADE=∠CFE，
∴AD//CF，又AD=BD，
∴BD=CF，BD//CF，
∴四边形ADCF是平行四边形。
综上，图中有2个平行四边形。
四边形BCFD的面积：
1.
∵E是AC中点，S△AEF=7，
∴S△CEF=S△AEF=7（等底同高），
∴S△ACF=14。
2.
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴S△ADC=S△ACF=14。
3.
∵D是AB中点，
∴S△ABC=2S△ADC=28。
4.
∵DE是中位线，
∴S△ADE=1/4S△ABC=7，
∴S梯形BCED=S△ABC - S△ADE=21。
5.
∵EF=DE，
∴S△CEF=S△CDE=7（等底同高），
∴S四边形BCFD=S梯形BCED + S△CEF=21+7=28。
答案：2；28

9. 如图,在$\triangle ABC$中,已知点$D$,$E$,$F分别为边BC$,$AD$,$CE$的中点,且$\triangle ABC的面积等于8cm^{2}$,则$\triangle BEF$的面积等于______$cm^{2}$。

2

答案： 解：
∵D是BC中点，
∴S_△ABD=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8=4cm²。
∵E是AD中点，
∴S_△BED=$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4=2cm²，
S_△CED=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{2}$×4=2cm²。
∴S_△BEC=S_△BED+S_△CED=2+2=4cm²。
∵F是CE中点，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$S_△BEC=$\frac{1}{2}$×4=2cm²。
2

10. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AD = 9cm$,$BC = 6cm$,点$P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D$运动,点$Q在BC$边上,以每秒$1cm的速度从点C向点B$运动,当2 或 3秒时,直线$PQ在四边形ABCD$内部能截出一个平行四边形。

答案： 2 或 3 解析：设点 $ P $，$ Q $ 运动的时间为 $ t $ 秒，依题意得，$ CQ = t $，$ BQ = 6 - t $，$ AP = 2t $，$ PD = 9 - 2t $。
①当 $ BQ = AP $ 时，四边形 $ APQB $ 是平行四边形，即 $ 6 - t = 2t $，解得 $ t = 2 $；
②当 $ CQ = PD $ 时，四边形 $ CQPD $ 是平行四边形，即 $ t = 9 - 2t $，解得 $ t = 3 $。
所以经过 2 秒或 3 秒后，直线 $ PQ $ 在四边形 $ ABCD $ 内部截出一个平行四边形。故答案为 2 或 3。

11. 如图,在$□ ABCD$中,$AE\perp BD$,$CF\perp BD$,垂足分别为$E$,$F$,求证：四边形$AECF$是平行四边形。

答案： 【解析】：本题可根据平行四边形的性质得到$AB// CD$，$AB = CD$，再结合垂直关系得到$\angle ABE=\angle CDF$，然后通过全等三角形证明$AE = CF$，最后根据平行四边形的判定定理证明四边形$AECF$是平行四边形。
【答案】：证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$，
∴$\angle ABE=\angle CDF$，
又
∵$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，
∴$\angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$，
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}\angle AEB=\angle CFD\\\angle ABE=\angle CDF\\AB = CD\end{cases}$
∴$\triangle ABE\cong\triangle CDF(AAS)$，
∴$AE = CF$，
∵$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，
∴$AE// CF$，
又
∵$AE = CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形。