《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

1. 勾股定理:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果$a$，$b$为直角三角形的两条直角边的长，$c$为斜边的长，那么$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $。

答案： 平方和 平方 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $

2. 如图，$a=$$\sqrt { c ^ { 2 } - b ^ { 2 } }$，$b=$$\sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } }$，$c=$$\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$，$h=$$\frac { a b } { c }$。

答案： $ \sqrt { c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } $ $ \sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } $ $ \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } $ $ \frac { a b } { c } $

例1 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边分别是$a$，$b$，$c$。
(1)若$\angle C=90^{\circ}$，$a=40$，$b=9$，求$c$；41
(2)若$\angle B=90^{\circ}$，$c=15$，$b=25$，求$a$；20
(3)若$\angle C=90^{\circ}$，$c=34$，$a:b=8:15$，求$\triangle ABC$的面积。240

答案： 解：
(1)因为$\angle C=90^{\circ}$，所以$c$是斜边，
所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}=40^{2}+9^{2}=41^{2}$，所以$c=41$；
(2)因为$\angle B=90^{\circ}$，所以$b$是斜边，
所以$a^{2}=b^{2}-c^{2}=25^{2}-15^{2}=20^{2}$，所以$a=20$；
(3)因为$a:b=8:15$，所以设$a=8x(x＞0)$，则$b=15x$。
因为$\angle C=90^{\circ}$，所以由勾股定理，得$(8x)^{2}+(15x)^{2}=c^{2}$，解得$c=17x$，
所以$17x=34$，$x=2$，所以$a=8x=16$，$b=15x=30$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times16\times30=240$。

例2 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形，若是，哪个角是直角?
(1)在$\triangle ABC$中，$\angle A=25^{\circ}$，$\angle B=65^{\circ}$；是直角三角形，$\angle C$是直角
(2)在$\triangle ABC$中，$AC=12$，$AB=20$，$BC=16$；是直角三角形，$\angle C$是直角
(3)在$\triangle ABC$中，$AB=7$，$BC=6$，$AC=5$。不是直角三角形

答案： 解：
(1)因为$\angle A+\angle B=25^{\circ}+65^{\circ}=90^{\circ}$，
所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle C$是直角；
(2)因为$AC^{2}+BC^{2}=12^{2}+16^{2}=20^{2}=AB^{2}$，
所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle C$是直角；
(3)因为$AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+6^{2}=61$，$AB^{2}=7^{2}=49$，
所以$AC^{2}+BC^{2}\neq AB^{2}$，所以$\triangle ABC$不是直角三角形。