《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A:\angle B:\angle ACB=1:2:3$,$CD\perp AB$于点$D$,$AB=10$,求$DB$的长为$\frac{5}{2}$。

答案： 解：$\frac{5}{2}$。

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是$BC$边上的高线,$E$是$AB$上一点,$CE$交$AD$于点$M$,且$\angle DCM=\angle MAE$,求证:$\triangle AEM$是直角三角形。
证明：因为$AD$是$BC$边上的高线，所以$\angle DMC + \angle DCM = 90^{\circ}$。又因为$\angle DMC = \angle AME$，$\angle DCM = \angle MAE$，所以$\angle AME + \angle MAE = 90^{\circ}$，所以$\triangle AEM$是直角三角形。

答案： 证明：因为$AD$是$BC$边上的高线，所以$∠DMC + ∠DCM = 90^{\circ}$。又因为$∠DMC = ∠AME$，$∠DCM = ∠MAE$，所以$∠AME + ∠MAE = 90^{\circ}$，所以$\triangle AEM$是直角三角形。

10. 如图,在等腰直角三角形$OAB$中,$\angle AOB=90^{\circ}$,在等腰直角三角形$EOF$中,$\angle EOF=90^{\circ}$,连结$AE$,$BF$。
求证:(1)$AE=BF$;
证明：(1) 因为$\triangle OAB$与$\triangle EOF$都是等腰直角三角形，所以$AO = BO$，$OE = OF$，$∠AOB = ∠EOF = 90^{\circ}$。因为$∠AOE = ∠AOB - ∠EOB$，$∠BOF = ∠EOF - ∠EOB$，所以$∠AOE = ∠BOF$。在$\triangle AEO$和$\triangle BFO$中，因为$\left\{\begin{array}{l}AO = BO,\\∠AOE = ∠BOF,\\OE = OF,\end{array}\right.$所以$\triangle AEO ≌ \triangle BFO$(SAS)，所以$AE = BF$；
(2)$AE\perp BF$。
证明：(2) 延长$AE$交$BF$于点$G$。由(1)可知，$∠EAO = ∠FBO$。因为$∠ABO + ∠BAO = 90^{\circ}$，所以$∠ABO + ∠BAE + ∠EAO = 90^{\circ}$，所以$∠ABO + ∠BAE + ∠FBO = 90^{\circ}$，即$∠BAE + ∠ABF = 90^{\circ}$，即$∠AGB = 90^{\circ}$，所以$AE ⊥ BF$。

答案： 证明：
(1) 因为$\triangle OAB$与$\triangle EOF$都是等腰直角三角形，所以$AO = BO$，$OE = OF$，$∠AOB = ∠EOF = 90^{\circ}$。因为$∠AOE = ∠AOB - ∠EOB$，$∠BOF = ∠EOF - ∠EOB$，所以$∠AOE = ∠BOF$。在$\triangle AEO$和$\triangle BFO$中，因为$\left\{\begin{array}{l}AO = BO,\\∠AOE = ∠BOF,\\OE = OF,\end{array}\right.$所以$\triangle AEO ≌ \triangle BFO(SAS)$，所以$AE = BF$；
(2) 延长$AE$交$BF$于点$G$。由
(1)可知，$∠EAO = ∠FBO$。因为$∠ABO + ∠BAO = 90^{\circ}$，所以$∠ABO + ∠BAE + ∠EAO = 90^{\circ}$，所以$∠ABO + ∠BAE + ∠FBO = 90^{\circ}$，即$∠BAE + ∠ABF = 90^{\circ}$，即$∠AGB = 90^{\circ}$，所以$AE ⊥ BF$。

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle BAC=2\angle B$,$E$是$BC$边上的一点,$ED\perp AB$于点$D$,且$ED=EC$。求证:$BE=2EC$。
证明：在$\triangle ABC$中，因为$∠C = 90^{\circ}$，$∠BAC = 2∠B$，所以$∠B + 2∠B + 90^{\circ} = 180^{\circ}$，所以$∠B =$$30^{\circ}$。因为$ED ⊥ AB$，且$ED = EC$，$∠B = 30^{\circ}$，所以$BE = 2ED = 2EC$。

答案： 证明：在$\triangle ABC$中，因为$∠C = 90^{\circ}$，$∠BAC = 2∠B$，所以$∠B + 2∠B + 90^{\circ} = 180^{\circ}$，所以$∠B = 30^{\circ}$。因为$ED ⊥ AB$，且$ED = EC$，$∠B = 30^{\circ}$，所以$BE = 2ED = 2EC$。

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$的中点,两边$PE$,$PF$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$。求证:$\triangle PEF$是等腰直角三角形。(提示:连结$AP$)
证明：连结$AP$。易证：$∠EAP = ∠C = 45^{\circ}$，$AP = CP$，$∠APE = ∠CPF$，得$\triangle AEP ≌ \triangle CFP$，所以$PE = PF$。因为$∠EPF = 90^{\circ}$，所以$\triangle PEF$是等腰直角三角形。

答案： 证明：连结$AP$。易证：$∠EAP = ∠C = 45^{\circ}$，$AP = CP$，$∠APE = ∠CPF$，得$\triangle AEP ≌ \triangle CFP$，所以$PE = PF$。因为$∠EPF = 90^{\circ}$，所以$\triangle PEF$是等腰直角三角形。