《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

例1 如图，已知$∠1=∠2,∠3=∠4$，求证：$AC=AD$。
证明：因为$∠3=∠4$，所以$∠ABC=∠ABD$。
在$\triangle ACB$和$\triangle ADB$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠2(已知),\\ AB=AB(公共边),\\ ∠ABC=∠ABD(已证),\end{array}\right.$
所以$\triangle ACB\cong \triangle ADB(ASA)$，
所以$AC=AD$(全等三角形的对应边相等)。

答案： 证明：因为$∠3=∠4$，所以$∠ABC=∠ABD$。
在$\triangle ACB$和$\triangle ADB$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠2(已知),\\ AB=AB(公共边),\\ ∠ABC=∠ABD(已证),\end{array}\right.$
所以$\triangle ACB\cong \triangle ADB(ASA)$，
所以$AC=AD$(全等三角形的对应边相等)。

例2 (1)如图1，$∠MAN=90^{\circ }$，射线$AE$在这个角的内部，点$B,C$分别在$∠MAN$的边$AM$，$AN$上，且$AB=AC,BD⊥AE$于点$D,CF⊥AE$于点$F$。求证：$\triangle ABD\cong \triangle CAF$。
证明：因为$CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90^{\circ }$，所以$∠BDA=∠AFC=90^{\circ }$，
所以$∠ABD+∠BAD=90^{\circ },∠BAD+∠CAF=90^{\circ }$，所以$∠ABD=∠CAF$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAF$中，因为$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CFA,\\ ∠ABD=∠CAF,\\ AB=CA,\end{array}\right.$所以$\triangle ABD\cong \triangle CAF$(AAS)。
(2)如图2，点$B,C$分别在$∠MAN$的边$AM,AN$上，点$E,F$都在$∠MAN$内部的射线$AD$上，$∠1,∠2$分别是$\triangle ABE,\triangle CAF$的外角。已知$AB=AC$，且$∠1=∠2=∠BAC$。求证：$\triangle ABE\cong \triangle CAF$。
证明：因为$∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF$，
所以$∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAF$中，因为$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠CAF,\\ AB=CA,\\ ∠BAE=∠ACF,\end{array}\right.$所以$\triangle ABE\cong \triangle CAF$(ASA)。

答案： 证明：
(1)因为$CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90^{\circ }$，所以$∠BDA=∠AFC=90^{\circ }$，
所以$∠ABD+∠BAD=90^{\circ },∠BAD+∠CAF=90^{\circ }$，所以$∠ABD=∠CAF$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAF$中，因为$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CFA,\\ ∠ABD=∠CAF,\\ AB=CA,\end{array}\right.$所以$\triangle ABD\cong \triangle CAF(AAS)$。
(2)因为$∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF$，
所以$∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAF$中，因为$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠CAF,\\ AB=CA,\\ ∠BAE=∠ACF,\end{array}\right.$所以$\triangle ABE\cong \triangle CAF(ASA)$。