《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

19. 对于任何实数$a$，$b$，$c$，$d$，我们规定符号的意义是$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。
（1）按照这个规定，请你计算$\begin{vmatrix}5&6\\7&8\end{vmatrix}$的值；-2
（2）按照这个规定，请你计算：当$x^{2}-3x+1=0$时，$\begin{vmatrix}x+1&3x\\x-2&x-1\end{vmatrix}$的值。1

答案： 解：
(1) -2；
(2) 1。

20. 已知$x+\frac{1}{x}=4$，求下列各式的值。
（1）$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$；
（2）$(x-\frac{1}{x})^{2}$。

答案： 解：
(1) 14；
(2) 12。

21. 已知$a$，$b$是有理数，试说明$a^{2}+b^{2}-2a-4b+8$的值是正数。

答案： 解：配方后原式 $ =(a - 1)^{2}+(b - 2)^{2}+3≥3 $，所以 $ a^{2}+b^{2}-2a - 4b + 8 $ 为正数。

22. 如图，将4个长为$a$、宽为$b$的长方形木条拼成一个正方形相框。
（1）若$a=2$，$b=1$，求正方形$ABCD$和正方形$EFGH$的面积；
正方形$ABCD$的面积为9，正方形$EFGH$的面积为1；
（2）用两种不同的方法计算大正方形$ABCD$的面积，你发现了什么代数结论？
方法一：正方形$ABCD$的面积为$(a + b)^{2}$；方法二：正方形$ABCD$的面积为$(a - b)^{2}+4ab$。发现的代数结论为$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab$。

答案：
(1) 正方形 ABCD 的面积为 $ (a + b)^{2}=(2 + 1)^{2}=3^{2}=9 $，正方形 EFGH 的面积为 $ (a - b)^{2}=(2 - 1)^{2}=1^{2}=1 $；
(2) 方法一：正方形 ABCD 的面积为 $ (a + b)^{2} $；方法二：正方形 ABCD 的面积为 $ (a - b)^{2}+4ab $。发现的代数结论为 $ (a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab $。