《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

6. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个内角相等的三角形是等腰三角形。

答案： 两个内角相等的三角形是等腰三角形

7. 请写出一个原命题是真命题,逆命题也是真命题的命题:两直线平行，同位角相等。

答案： 略(答案不唯一)

8. 写出下列命题的逆命题,并判断其真假。
(1)等边三角形有一个角等于 $60^{\circ}$;
(2)等腰三角形两腰上的高线长相等。

答案： 解:
(1)逆命题是:有一个角等于$60^{\circ}$的三角形是等边三角形。它是假命题;
(2)逆命题是:有两条边上的高线相等的三角形是等腰三角形。它是真命题。

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ},BE$ 平分 $\angle ABC$ 交边 $AC$ 于点 $E$,过点 $E$ 作 $ED\perp AB$ 于点 $D$,$BD = BC$。求证:$BE$ 垂直平分 $CD$。
证明:因为$BD = BC$，所以点$B$在线段$CD$的垂直平分线上。因为$∠ACB = 90^{\circ}$，$ED⊥AB$，$BE$平分$∠ABC$，所以$ED = EC$，所以点$E$也在线段$CD$的垂直平分线上，所以直线$BE$是线段$CD$的垂直平分线，即$BE$垂直平分$CD$。

答案： 证明:因为$BD = BC$，所以点$B$在线段$CD$的垂直平分线上。因为$∠ACB = 90^{\circ}$，$ED⊥AB$，$BE$平分$∠ABC$，所以$ED = EC$，所以点$E$也在线段$CD$的垂直平分线上，所以直线$BE$是线段$CD$的垂直平分线，即$BE$垂直平分$CD$。

10. 如图,把一张长方形纸条沿对角线 $BD$ 折叠,使点 $C$ 落在点 $C'$ 处,$BC'$ 交 $AD$ 于点 $O$。求证:点 $O$ 在 $BD$ 的垂直平分线上。
证明:因为$AD// BC$，所以∠CBD = ∠ADB。又因为∠CBD = ∠C'BD(轴对称的性质)，所以∠OBD = ∠ODB，所以OB = OD，所以点$O$在$BD$的垂直平分线上(线段垂直平分线定理的逆定理)。

答案： 证明:因为$AD// BC$，所以$∠CBD = ∠ADB$。又因为$∠CBD = ∠C'BD$(轴对称的性质)，所以$∠OBD = ∠ODB$，所以$OB = OD$，所以点$O$在$BD$的垂直平分线上(线段垂直平分线定理的逆定理)。

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,(1)$AB = AC$;(2)$AD\perp BC$;(3)$BD = CD$;(4)$\angle B=\angle C$;(5)$\angle BAD=\angle CAD$。请你选择其中的两个作为条件,另两个作为结论,构造一对互逆的真命题,并给出证明。

解:原命题:如题图，已知在$\triangle ABC$中，∠BAD = ∠CAD，且AD⊥BC。求证:AB = AC，BD = CD。证明:因为$AD⊥BC$，所以$∠ADB = ∠ADC = 90^{\circ}$。又因为$∠BAD = ∠CAD$，$AD = AD$，所以$\triangle ACD≌\triangle ABD$，所以$AB = AC$，$BD = CD$。 逆命题:如题图，已知在$\triangle ABC$中，AB = AC，且BD = CD。求证:∠BAD = ∠CAD，AD⊥BC。证明:因为$AB = AC$，$BD = CD$，$AD = AD$，所以$\triangle ABD≌\triangle ACD$，所以$∠BAD = ∠CAD$，$∠ADB = ∠ADC$，所以$AD⊥BC$。(答案不唯一)

答案： 解:原命题:如题图，已知在$\triangle ABC$中，$∠BAD = ∠CAD$，且$AD⊥BC$。求证:$AB = AC$，$BD = CD$。证明:因为$AD⊥BC$，所以$∠ADB = ∠ADC = 90^{\circ}$。又因为$∠BAD = ∠CAD$，$AD = AD$，所以$\triangle ACD≌\triangle ABD$，所以$AB = AC$，$BD = CD$。 逆命题:如题图，已知在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，且$BD = CD$。求证:$∠BAD = ∠CAD$，$AD⊥BC$。证明:因为$AB = AC$，$BD = CD$，$AD = AD$，所以$\triangle ABD≌\triangle ACD$，所以$∠BAD = ∠CAD$，$∠ADB = ∠ADC$，所以$AD⊥BC$。(答案不唯一)