《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

20. 如图，已知点$E$在$AB$上，且$CE$平分$\angle BCD$，$DE$平分$\angle ADC$，$\angle EDC+\angle DCE=90^{\circ}$，试说明$AD// BC$。
解:因为CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,所以∠BCD=2∠DCE,∠ADC=2∠EDC。因为∠EDC+∠DCE=90°,所以∠BCD+∠ADC=2∠DCE+2∠EDC=2(∠DCE+∠EDC)=2×90°=180°,所以AD//BC。

答案： 解:因为CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,所以∠BCD=2∠DCE,∠ADC=2∠EDC。因为∠EDC+∠DCE=90°,所以∠BCD+∠ADC=2∠DCE+2∠EDC=2(∠DCE+∠EDC)=2×90°=180°,所以AD//BC。

21. 如图，已知$CD// BE$，$\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$。
（1）试问$\angle AFE$与$\angle ABC$相等吗？请说明理由；
（2）若$\angle D=2\angle AEF$，$\angle 1=136^{\circ}$，求$\angle D$的度数。

解:
(1)∠AFE与∠ABC相等。理由如下:因为CD//BE,所以∠1+∠CBE=180°。因为∠1+∠2=180°,所以∠2=∠CBE(同角的补角相等),所以EF//BC(内错角相等，两直线平行),所以∠AFE=∠ABC(两直线平行，同位角相等);
(2)因为CD//BE,所以∠D=∠AEB。因为∠AEB=∠2+∠AEF,∠D=2∠AEF,所以∠2=∠AEF,即∠D=2∠2。因为∠1=136°,∠1+∠2=180°,所以∠2=44°,所以∠D=88°。

答案： 解:
(1)∠AFE与∠ABC相等。理由如下:因为CD//BE,所以∠1+∠CBE=180°。因为∠1+∠2=180°,所以∠2=∠CBE(同角的补角相等),所以EF//BC(内错角相等，两直线平行),所以∠AFE=∠ABC(两直线平行，同位角相等);
(2)因为CD//BE,所以∠D=∠AEB。因为∠AEB=∠2+∠AEF,∠D=2∠AEF,所以∠2=∠AEF,即∠D=2∠2。因为∠1=136°,∠1+∠2=180°,所以∠2=44°,所以∠D=88°。

22. 如图，$CA$平分$\angle BCD$，$\angle CAD=\angle ACD$，$E$为$DA$延长线上一点。
（1）请说明$AD// BC$的理由；
解：因为CA平分∠BCD,所以∠BCA=∠ACD。因为∠CAD=∠ACD,所以∠BCA=∠CAD,所以AD//BC;
（2）当$AB$平分$\angle EAC$，$AB// DC$时，求$\angle D$的度数。
解：因为AB//DC,所以∠BAC=∠ACD,∠EAB=∠D。因为AB平分∠EAC,所以∠EAB=∠BAC=∠ACD=∠BCA=∠CAD=60°,所以∠D=∠EAB=60°。

答案： 解:
(1)因为CA平分∠BCD,所以∠BCA=∠ACD。因为∠CAD=∠ACD,所以∠BCA=∠CAD,所以AD//BC;
(2)因为AB//DC,所以∠BAC=∠ACD,∠EAB=∠D。因为AB平分∠EAC,所以∠EAB=∠BAC=∠ACD=∠BCA=∠CAD=60°,所以∠D=∠EAB=60°。