《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

23. 如图，在图1～4中，已知$AB// CD$。分别探索这四个图形中，$\angle P$，$\angle A$，$\angle C$之间的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明。

图1：∠P+∠A+∠C=360°；图2：∠P=∠A+∠C；图3：∠P+∠A=∠C；图4：∠A=∠P+∠C。

答案： 解:答案不唯一,说明略。选图1,则关系为∠P+∠A+∠C=360°;选图2,则关系为∠P=∠A+∠C;选图3,则关系为∠P+∠A=∠C;选图4,则关系为∠A=∠P+∠C。

24. 如图，$BE$平分$\angle CBD$，交$DF$于点$E$，点$G$在线段$BE$上（不与点$B$，$E$重合），连结$DG$，已知$\angle BEF+\angle DBE=180^{\circ}$。
（1）试判断$AC$与$DE$是否平行，并说明理由；
（2）探索$\angle ABG$，$\angle BGD$，$\angle GDE$三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）若$\angle BDG=(m+1)\angle GDE$，且$\angle BGD+n\angle GDE=90^{\circ}$（$m$，$n$为常数，且为正数），求$\frac{m}{n}$的值。

答案：
解:
(1)AC与DE平行。理由如下:因为∠BEF+∠BED=∠BEF+∠DBE=180°,所以∠BED=∠DBE。因为BE平分∠CBD,所以∠CBE=∠DBE,所以∠CBE=∠BED,所以AC//DE;
(2)∠ABG+∠BGD−∠GDE=180°。理由如下:如图,过点G作GH//AC,所以GH//AC//DF,所以∠ABG+∠BGH=180°,∠HGD=∠GDE。因为∠BGD=∠BGH+∠HGD=180°−∠ABG+∠GDE,所以∠ABG+∠BGD−∠GDE=180°;
(3)因为∠BDG=(m+1)∠GDE,且∠BGD+n∠GDE=90°,所以∠BDE=(m+2)∠GDE,∠BGD=90°−n∠GDE。由
(1)知,AC//DF,∠CBE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠CBD,所以∠ABD=∠BDE=(m+2)∠GDE,所以∠DBE=$\frac{1}{2}$∠CBD=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABD)=90°−$\frac{m+2}{2}$∠GDE,所以∠ABG=∠ABD+∠DBE=90°+$\frac{m+2}{2}$∠GDE。由
(2)知，∠ABG+∠BGD−∠GDE=180°,所以90°+$\frac{m+2}{2}$∠GDE+90°−n∠GDE−∠GDE=180°,所以$\frac{m+2}{2}$∠GDE=n∠GDE+∠GDE,所以$\frac{m+2}{2}$=n+1,所以m=2n,即$\frac{m}{n}$的值为2。