《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

9. 如图,已知$∠D=∠B+∠E$,求证:$AB// CD$。

答案： 证明:因为 $\angle AFE$ 是 $\triangle BEF$ 的外角，所以 $\angle AFE=\angle B+\angle E$。又因为 $\angle D=\angle B+\angle E$，所以 $\angle D=\angle AFE$，所以 $AB// CD$。

10. 证明命题:“两条平行线被第三条直线所截,一对同旁内角的角平分线互相垂直。”

答案：
证明:已知:$AB// CD$，$EF$ 截 $AB$，$CD$ 于点 $E$，$F$，$EG$，$FG$ 分别平分 $\angle BEF$，$\angle EFD$，求证:$EG\perp GF$。

证明:因为 $AB// CD$，所以 $\angle BEF+\angle EFD=180^{\circ}$。又因为 $EG$ 平分 $\angle BEF$，所以 $\angle FEG=\frac{1}{2}\angle BEF$。同理 $\angle EFG=\frac{1}{2}\angle EFD$。所以 $\angle FEG+\angle EFG=\frac{1}{2}\angle BEF+\frac{1}{2}\angle EFD=90^{\circ}$，所以 $\angle EGF=90^{\circ}$，所以 $EG\perp GF$。

11. 如图,CE是$△ABC$的外角$∠ACD$的平分线,且CE交BA的延长线于点E。
求证:$∠BAC=∠B+2∠E$。

答案： 证明:因为 $\angle BAC$ 是 $\triangle AEC$ 的外角，所以 $\angle BAC=\angle E+\angle ECA$。因为 $EC$ 平分 $\angle ACD$，所以 $\angle DCE=\angle ECA$。又因为 $\angle DCE$ 是 $\triangle ECB$ 的外角，所以 $\angle DCE=\angle E+\angle B$，所以 $\angle BAC=\angle E+\angle DCE=\angle E+\angle E+\angle B$，所以 $\angle BAC=\angle B+2\angle E$。