《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

23. (10分)将两把大小不同的含$45^{\circ}$角的直角三角尺按如图1所示放置在同一平面内。从图1中抽象出一个几何图形(如图2),$B,C,E$三点在同一条直线上,连结$DC$。
求证:(1)$BE = CD$;
(2)$DC\perp BE$。

答案： 证明：
(1) 由已知可知 $ AB = AC $，$ AE = AD $，$ \angle BAC = \angle EAD = 90^{\circ} $，所以 $ \angle BAE = \angle CAD $，所以 $ \triangle BAE \cong \triangle CAD $，所以 $ BE = CD $；
(2) 由
(1)可知 $ \triangle BAE \cong \triangle CAD $，所以 $ \angle B = \angle ACD $。因为 $ \angle B + \angle ACB = 90^{\circ} $，所以 $ \angle ACD + \angle ACB = 90^{\circ} $，所以 $ DC \perp BE $。

24. (12分)在$\angle MAN$内有一点$D$,过点$D$分别作$DB\perp AM,DC\perp AN$,垂足分别为点$B,C$,且$BD = CD$,点$E,F$分别在边$AM$和$AN$上。
(1)如图1,若$\angle BED=\angle CFD$,请说明$DE = DF$;
解：因为 $ DB \perp AM $，$ DC \perp AN $，所以 $ \angle DBE = \angle DCF = 90^{\circ} $。在 $ \triangle BDE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，因为 $ \begin{cases} \angle BED = \angle CFD \\ \angle DBE = \angle DCF \\ BD = CD \end{cases} $，所以 $ \triangle BDE \cong \triangle CDF$(AAS)，所以 $ DE = DF $；
(2)如图2,若$\angle BDC = 120^{\circ},\angle EDF = 60^{\circ}$,猜想$EF,BE,CF$之间的数量关系,并说明你的结论成立的理由。
猜想：$EF = CF + BE$。理由如下：在射线 $ CN $ 上取点 $ G $，使 $ CG = BE $，连结 $ DG $。在 $ \triangle BDE $ 和 $ \triangle CDG $ 中，因为 $ \begin{cases} BE = CG \\ \angle EBD = \angle GCD \\ BD = CD \end{cases} $，所以 $ \triangle BDE \cong \triangle CDG$(SAS)，所以 $ DE = DG $，$ \angle BDE = \angle CDG $。因为 $ \angle BDC = 120^{\circ} $，$ \angle EDF = 60^{\circ} $，所以 $ \angle BDE + \angle CDF = 60^{\circ} $，所以 $ \angle GDF = \angle CDG + \angle CDF = 60^{\circ} $，所以 $ \angle EDF = \angle GDF $。在 $ \triangle EDF $ 和 $ \triangle GDF $ 中，因为 $ \begin{cases} DE = DG \\ \angle EDF = \angle GDF \\ DF = DF \end{cases} $，所以 $ \triangle EDF \cong \triangle GDF$(SAS)，所以 $ EF = GF $，所以 $ EF = CF + CG = CF + BE $。

答案： 解：
(1) 因为 $ DB \perp AM $，$ DC \perp AN $，所以 $ \angle DBE = \angle DCF = 90^{\circ} $。在 $ \triangle BDE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，因为 $ \begin{cases} \angle BED = \angle CFD \\ \angle DBE = \angle DCF \\ BD = CD \end{cases} $，所以 $ \triangle BDE \cong \triangle CDF(AAS) $，所以 $ DE = DF $；
(2)$ EF = CF + BE $。理由如下：在射线 $ CN $ 上取点 $ G $，使 $ CG = BE $，连结 $ DG $。在 $ \triangle BDE $ 和 $ \triangle CDG $ 中，因为 $ \begin{cases} BE = CG \\ \angle EBD = \angle GCD \\ BD = CD \end{cases} $，所以 $ \triangle BDE \cong \triangle CDG(SAS) $，所以 $ DE = DG $，$ \angle BDE = \angle CDG $。因为 $ \angle BDC = 120^{\circ} $，$ \angle EDF = 60^{\circ} $，所以 $ \angle BDE + \angle CDF = 60^{\circ} $，所以 $ \angle GDF = \angle CDG + \angle CDF = 60^{\circ} $，所以 $ \angle EDF = \angle GDF $。在 $ \triangle EDF $ 和 $ \triangle GDF $ 中，因为 $ \begin{cases} DE = DG \\ \angle EDF = \angle GDF \\ DF = DF \end{cases} $，所以 $ \triangle EDF \cong \triangle GDF(SAS) $，所以 $ EF = GF $，所以 $ EF = CF + CG = CF + BE $。