《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

11. 如图，将长方形纸片$ABCD$沿$EF$折叠，使点$A$与点$C$重合，点$D$落在点$G$处，$EF$为折痕。
(1)求证：$\triangle FGC\cong \triangle EBC$；
(2)若$AB = 8$，$AD = 4$，求四边形$ECGF$(即阴影部分)的面积。

(1)证明:因为四边形 $ ABCD $ 是长方形,所以 $ AD = BC $，$ \angle D = \angle B = 90^{\circ} $。根据折叠的性质,有 $ GC = AD $，$ \angle G = \angle D $，所以 $ GC = BC $，$ \angle G = \angle B $。又因为 $ \angle GCF + \angle ECF = 90^{\circ} $，$ \angle BCE + \angle ECF = 90^{\circ} $，所以 $ \angle GCF = \angle BCE $，所以 $ \triangle FGC \cong \triangle EBC $；　(2)解:由(1)知,四边形 $ ECGF $ 的面积 $ = $ 四边形 $ EBCF $ 的面积 $ = $ 四边形 $ EADF $ 的面积 $ = $ 长方形 $ ABCD $ 的面积的一半。因为 $ AB = 8 $，$ AD = 4 $，所以长方形 $ ABCD $ 的面积为 $ 8 × 4 = 32 $，所以四边形 $ ECGF $ (即阴影部分) 的面积为16。

答案： 11.
(1)证明:因为四边形 $ ABCD $ 是长方形,所以 $ AD = BC $，$ \angle D = \angle B = 90^{\circ} $。根据折叠的性质,有 $ GC = AD $，$ \angle G = \angle D $，所以 $ GC = BC $，$ \angle G = \angle B $。又因为 $ \angle GCF + \angle ECF = 90^{\circ} $，$ \angle BCE + \angle ECF = 90^{\circ} $，所以 $ \angle GCF = \angle BCE $，所以 $ \triangle FGC \cong \triangle EBC $；　
(2)解:由
(1)知,四边形 $ ECGF $ 的面积 $ = $ 四边形 $ EBCF $ 的面积 $ = $ 四边形 $ EADF $ 的面积 $ = $ 长方形 $ ABCD $ 的面积的一半。因为 $ AB = 8 $，$ AD = 4 $，所以长方形 $ ABCD $ 的面积为 $ 8 \times 4 = 32 $，所以四边形 $ ECGF $ (即阴影部分) 的面积为 16。

12. 如图，河岸$l$同侧有两个居民小区$A$，$B$。
(1)现要在河上建一座桥$P$，请在图1的河岸$l$上画出点$P$，使小区$A$，$B$到点$P$的距离之和最小；
(2)现要在河岸$l$边建一个长度为$a\ m$的绿化带$CD$(宽度不计)，使点$C$到小区$A$的距离与点$D$到小区$B$的距离之和最小。请在图2中画出绿化带的位置。

答案：
12.解:
(1)如图1,点 $ P $ 就是建桥的位置;
(2)如图2,线段 $ CD $ 就是绿化带的位置。