《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

例3 如图,$AB = AD,BC = DC,E$ 是 $AC$ 上的一点。求证:
(1)$BE = DE$;
(2)$\angle ABE=\angle ADE$。

证明:(1)连结$BD$。
因为$AB = AD$,
所以点$A$在线段$BD$的垂直平分线上。
因为$BC = DC$,
所以点$C$也在线段$BD$的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线,
所以直线$AC$是线段$BD$的垂直平分线。
又因为点$E$在$AC$上,所以$BE = DE$;
(2)在$\triangle ABE$和$\triangle ADE$中,
$\begin{cases}AB = AD,\\BE = DE,\\AE = AE,\end{cases}$
因为三边分别相等的两个三角形全等
所以$\triangle ABE\cong\triangle ADE(SSS)$,
所以$\angle ABE=\angle ADE$。

答案： 证明:
(1)连结 $BD$。
因为 $AB = AD$,
所以点 $A$ 在线段 $BD$ 的垂直平分线上。
因为 $BC = DC$,
所以点 $C$ 也在线段 $BD$ 的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线,
所以直线 $AC$ 是线段 $BD$ 的垂直平分线。
又因为点 $E$ 在 $AC$ 上,所以 $BE = DE$;
(2)在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADE$ 中,
$\begin{cases}AB = AD,\\BE = DE,\\AE = AE,\end{cases}$
因为
所以 $\triangle ABE\cong\triangle ADE(SSS)$,
所以 $\angle ABE=\angle ADE$。

1. 下列说法正确的有 (B)
①每个命题都有逆命题;②真命题的逆命题是真命题;③假命题的逆命题是真命题;④每个定理都有逆定理;⑤每个定理都有逆命题。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

2. 已知下列命题:①若 $a\leqslant0$,则 $|a|=-a$;②若 $ma^{2}＞na^{2}$,则 $m ＞ n$;③全等三角形的周长相等。其中原命题与逆命题均为真命题的有 (B)
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： B

3. 如图,下列说法正确的是 (D)

A. 若 $AC = BC$,则直线 $CD$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线
B. 若 $AD = BD$,则 $AC = BC$
C. 若 $CD\perp AB$,则 $AC = BC$
D. 若 $AC = BC,AD = BD$,则直线 $CD$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线

答案： D

4. 对于命题“如果 $\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$,那么 $\angle1\neq\angle2$”,能说明它是假命题的反例是 (D)
A. $\angle1 = 60^{\circ},\angle2 = 40^{\circ}$
B. $\angle1 = 50^{\circ},\angle2 = 40^{\circ}$
C. $\angle1=\angle2 = 40^{\circ}$
D. $\angle1=\angle2 = 45^{\circ}$

答案： D

5. 如图,$P$ 是 $\triangle ABC$ 内的一点,若 $PB = PC$,则 (D)

A. 点 $P$ 在 $\angle ABC$ 的平分线上
B. 点 $P$ 在 $\angle ACB$ 的平分线上
C. 点 $P$ 在边 $AB$ 的垂直平分线上
D. 点 $P$ 在边 $BC$ 的垂直平分线上

答案： D