《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠B=∠C$，点$D,E,F$分别在$AB,BC,AC$上，且$BD=CE,∠DEF=∠B$，求证：$ED=EF$。

答案： 证明: 因为 $\angle DEF+\angle DEB+\angle FEC=180^{\circ}$，$\angle B+\angle DEB+\angle BDE=180^{\circ}$，又因为 $\angle B=\angle DEF$，所以 $\angle FEC=\angle EDB$。在 $\triangle DBE$ 和 $\triangle ECF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle B=\angle C, \\ BD=CE, \\ \angle BDE=\angle CEF, \end{array}\right.$ 所以 $\triangle DBE \cong \triangle ECF$，所以 $ED=FE$。

11. 在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },AC=BC$，直线$MN$经过点$C$，且$AD⊥MN$于点$D,BE⊥MN$于点$E$。
(1)当直线$MN$绕点$C$旋转到图1的位置时，求证：①$\triangle ACD\cong \triangle CBE$；②$DE=AD+BE$；
(2)当直线$MN$绕点$C$旋转到图2的位置时，求证：$DE=AD-BE$；
(3)当直线$MN$绕点$C$旋转到图3的位置时，试问$DE,AD,BE$具有怎样的等量关系？(直接写出这个等量关系，不必加以证明)$DE=BE-AD$

答案：
(1) 证明: ① 因为 $AD \perp MN$，$BE \perp MN$，所以 $\angle ADC=\angle BEC=90^{\circ}$，所以 $\angle DAC+\angle ACD=90^{\circ}$。又因为 $\angle ACD+\angle ACB+\angle BCE=180^{\circ}$，$\angle ACB=90^{\circ}$，所以 $\angle ACD+\angle BCE=90^{\circ}$，所以 $\angle DAC=\angle ECB$。同理 $\angle DCA=\angle EBC$。在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle CEB$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DAC=\angle ECB, \\ AC=CB, \\ \angle DCA=\angle EBC, \end{array}\right.$ 所以 $\triangle ADC \cong \triangle CEB$； ② 由 ① 可得，$\triangle ADC \cong \triangle CEB$，所以 $DC=BE$，$AD=CE$，所以 $DE=DC+CE=AD+BE$；
(2) 证明: 因为 $\angle ACB=\angle ACD+\angle ECB=90^{\circ}$，又因为 $\angle ECB+\angle CBE=90^{\circ}$，所以 $\angle ACD=\angle CBE$。同理可得，$\angle CAD=\angle BCE$。因为 $AC=CB$，所以 $\triangle ACD \cong$$\triangle CBE$，所以 $CE=AD$，$CD=BE$，所以 $DE=CE-CD=AD-BE$；
(3) 解: $DE=BE-AD$。