《2025年暑假衔接起跑线七升八数学浙教版》

9. 如图,$AB$平分$\angle CAD$,$AC = AD$。求证:$BC = BD$。

答案： 证明：因为 AB 平分 ∠CAD，所以 ∠CAB = ∠DAB。在 △ACB 和 △ADB 中，{AC = AD, ∠CAB = ∠DAB, AB = AB,} 所以 △ACB ≌ △ADB，所以 BC = BD。

10. 如图,在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,$\angle A = \angle D$,$AC = DF$,$AE = BD$,请说明$\angle C = \angle F$的理由。
解：因为 AE = BD，所以 AE - BE = BD - BE，所以 AB = DE。在 △ABC 和 △DEF 中，{AC = DF, ∠A = ∠D, AB = DE,} 所以 △ABC ≌ △DEF(SAS)，所以 ∠C = ∠F。

答案： 解：因为 AE = BD，所以 AE - BE = BD - BE，所以 AB = DE。在 △ABC 和 △DEF 中，{AC = DF, ∠A = ∠D, AB = DE,} 所以 △ABC ≌ △DEF，所以 ∠C = ∠F。

11. 如图,$AB \perp l$于点$B$,$DC \perp l$于点$C$,点$E$在$BC$上,且$AB = EC$,$BE = CD$。探索$AE$,$ED$的关系,并说明理由。

解：AE = ED，AE ⊥ ED。理由如下：因为 AB ⊥ l，DC ⊥ l，所以 ∠ABE = ∠ECD = 90°。在 △ABE 和 △ECD 中，{AB = EC, ∠ABE = ∠ECD, BE = CD,} 所以 △ABE ≌ △ECD，所以 AE = ED，∠AEB = ∠D。因为 ∠DEC + ∠D = 90°，所以 ∠AEB + ∠DEC = 90°。因为 ∠AEB + ∠AED + ∠DEC = 180°，所以 ∠AED = 90°，所以 AE ⊥ ED。

答案： 解：AE = ED，AE ⊥ ED。理由如下：因为 AB ⊥ l，DC ⊥ l，所以 ∠ABE = ∠ECD = 90°。在 △ABE 和 △ECD 中，{AB = EC, ∠ABE = ∠ECD, BE = CD,} 所以 △ABE ≌ △ECD，所以 AE = ED，∠AEB = ∠D。因为 ∠DEC + ∠D = 90°，所以 ∠AEB + ∠DEC = 90°。因为 ∠AEB + ∠AED + ∠DEC = 180°，所以 ∠AED = 90°，所以 AE ⊥ ED。