《2025年暑假作业新疆青少年出版社七年级数学人教版》

4.如图,直线AB和CD相交于点O,OE把$∠AOC$分成两部分,且$∠AOE:∠EOC= 2:3,$
(1)如图1,若$∠BOD= 75^{\circ }$,求$∠BOE$的度数;
(2)如图2,若OF平分$∠BOE,∠BOF= $$∠AOC+12^{\circ }$,求$∠EOF$的度数.

答案：
(1)
∵∠BOD=75°,
∴∠AOC=∠BOD=75°,∠BOC=180°−∠BOD=180°−75°=105°,
∵∠AOE:∠EOC=2:3,
∴∠COE=$\frac{3}{5}$∠AOC=$\frac{3}{5}$×75°=45°,
∴∠BOE=∠BOC+∠COE=105°+45°=150°.　
(2)
∵OF平分∠BOE,
∴∠EOF=∠BOF=∠AOC+12°,
∴∠FOC+∠COE=∠AOE+∠COE+12°,
∴∠FOC=∠AOE+12°,设∠AOE=x°,则∠FOC=(x+12)°,∠COE=$\frac{3}{2}$x°,
∵∠AOE+∠EOF+∠BOF=180°,
∴x+(x+12+$\frac{3}{2}$x)×2=180,解得x=26,
∴∠EOF=∠COE+∠COF=$\frac{3}{2}$x°+x°+12°=77°.

5.如图,点P在CD上,已知$∠BAP+∠APD= 180^{\circ },∠1= ∠2$,试说明:$AE// PF.$

答案：
∵∠BAP+∠APD=180°,∠APC+∠APD=180°,
∴∠BAP=∠APC,又∠1=∠2,
∴∠BAP−∠1=∠APC−∠2,即∠EAP=∠APF,
∴AE//PF.

6.将一副三角尺按右图摆放,并标点描线如图所示,然后过点C作CF平分$∠DCE$,交DE于点F.
(1)求证:$CF// AB;$
(2)求$∠EFC$的度数.

答案：
(1)
∵CF平分∠DCE,且∠DCE=90°,
∴∠ECF=45°,
∵∠BAC=45°,
∴∠BAC=∠ECF,
∴CF//AB.　
(2)在△FCE中,
∵∠FCE+∠E+∠EFC=180°,
∴∠EFC=180°−∠FCE−∠E=180°−45°−30°=105°.

7.如图,直线AB,CD相交于点O,$∠AOD= 2∠BOD+60^{\circ }.$
(1)求$∠BOD$的度数;
(2)以O为端点引射线OE,OF,射线OE平分$∠BOD$,且$∠EOF= $$90^{\circ }$,求$∠BOF$的度数.

答案：

(1)由邻补角互补,得∠AOD+∠BOD=180°,又
∵∠AOD=2∠BOD+60°,
∴2∠BOD+60°+∠BOD=180°,解得∠BOD=40°;　
(2)如下图所示,由射线OE平分∠BOD,得∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×40°=20°,
∴∠BOF′=∠EOF'+∠BOE=90°+20°=110°,∠BOF=∠EOF−∠BOE=90°−20°=70°,
∴∠BOF的度数为110°或70°.