《2025年暑假作业新疆青少年出版社七年级数学人教版》

18. 若实数 a,b,c 在数轴上的位置如图,化简:

(1)$\sqrt {a^{2}}-\sqrt {c^{2}}+\sqrt {(a-c)^{2}}$;
(2)$|a-b|-|c-a|+|b-c|-\sqrt {a^{2}}$.

答案： 由图可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，
(1) 原式$= |a| - |c| + |a - c| = -a - c + (-a + c) = -a - c - a + c = -2a$；
(2) 原式$= b - a - (c - a) + (c - b) - (-a) = b - a - c + a + c - b + a = a$。

19. (1)设 a,b 是有理数,且满足$a+\sqrt {2}b= 3-2\sqrt {2}$,求$b^{3}$的值.
(2)设 x,y 都是有理数,且满足$x^{2}-2y+\sqrt {5}y= 10+3\sqrt {5}$,求$x+y$的值.

答案：
(1) 由题意得$(a - 3) + \sqrt{2}(b + 2) = 0$，因为$a$，$b$都是有理数，所以$a - 3$，$b + 2$也是有理数，由于$\sqrt{2}$是无理数，所以$b + 2 = 0$，$a - 3 = 0$，所以$b = -2$，$a = 3$，所以$b^3 = (-2)^3 = -8$；
(2) 移项得$(x^2 - 2y - 10) + \sqrt{5}(y - 3) = 0$，$\because \sqrt{5}$是无理数，$\therefore y - 3 = 0$，$x^2 - 2y - 10 = 0$，解得$y = 3$，$x = \pm 4$，故$x + y = 7$或$-1$。

20. 阅读下列解题过程:
$\sqrt {1-\frac {3}{4}}= \sqrt {\frac {1}{4}}= \sqrt {(\frac {1}{2})^{2}}= \frac {1}{2}$;
$\sqrt {1-\frac {5}{9}}= \sqrt {\frac {4}{9}}= \sqrt {(\frac {2}{3})^{2}}= \frac {2}{3}$;
$\sqrt {1-\frac {7}{16}}= \sqrt {\frac {9}{16}}= \sqrt {(\frac {3}{4})^{2}}= \frac {3}{4}$,
…
(1)$\sqrt {1-\frac {9}{25}}= $____,$\sqrt {1-\frac {15}{64}}= $____;
(2)仿照上面的解题过程,化简:$\sqrt {1-\frac {2n+1}{(n+1)^{2}}}$(n 为自然数);
(3)利用这一规律计算:
$\sqrt {(1-\frac {3}{4})×(1-\frac {5}{9})×(1-\frac {7}{16})×... ×(1-\frac {99}{2500})}$.

答案：
(1) $\frac{4}{5}$ $\frac{7}{8}$
(2) $\sqrt{1 - \frac{2n + 1}{(n + 1)^2}} = \sqrt{\frac{(n + 1)^2 - 2n - 1}{(n + 1)^2}} = \sqrt{\frac{n^2}{(n + 1)^2}} = \frac{n}{n + 1}$；
(3) 原式$= \sqrt{\frac{1}{4} \times \frac{4}{9} \times \frac{9}{16} \times \cdots \times \frac{2401}{2500}} = \sqrt{\frac{1}{2500}} = \frac{1}{50}$。