《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

问题探究
如果$x^{2}= 4$,那么x是多少？

答案： 解:因为2²=4,(-2)²=4,所以x是2或-2.

练习 (1)由$(\pm 3)^{2}= 9$,得9的平方根是±3；
(2)由$(\pm \sqrt {5})^{2}= 5$,得5的平方根是±√5；
(3)由$(\pm \frac {3}{4})^{2}= \frac {9}{16}$,得$\frac {9}{16}$的平方根是±3/4.

答案：
(1)±3
(2)±√5
(3)±3/4

尝试探究
(1)对于$a＞0$,如果$x^{2}= a$,那么$(-x)^{2}=$$a$,即$x^{2}=$$(-x)^{2}$=$a$.
所以x和$-x都满足x^{2}=$$a$,即正数有$2$个平方根.
(2)对于$a= 0$,如果$x^{2}= a$,那么$x=$$0$.所以0满足$x^{2}=$$0$,即0的平方根是$0$.
(3)对于$a＜0$,$x^{2}= a$不成立,即负数没有平方根.
(4)下列各数有平方根吗？如果有,请写出来；如果没有,请说明理由.
$9,5,\frac {9}{25},0,-\frac {4}{9},-8,-36$.
$9$的平方根是$\pm3$；$5$的平方根是$\pm\sqrt{5}$；$\frac{9}{25}$的平方根是$\pm\frac{3}{5}$；$0$的平方根是$0$；$-\frac{4}{9}$没有平方根，理由是负数没有平方根；$-8$没有平方根，理由是负数没有平方根；$-36$没有平方根，理由是负数没有平方根。

答案： 1. （1）
对于$a\gt0$，如果$x^{2}=a$，根据$(-x)^{2}=(-1× x)^{2}=(-1)^{2}× x^{2}=x^{2}$，那么$(-x)^{2}=a$，即$x^{2}=(-x)^{2}=a$。
所以$x$和$-x$都满足$x^{2}=a$，即正数有$2$个平方根。
2. （2）
对于$a = 0$，如果$x^{2}=a$，即$x^{2}=0$，那么$x = 0$。
所以$0$满足$x^{2}=0$，即$0$的平方根是$0$。
3. （3）
对于$a\lt0$，$x^{2}=a$不成立，即负数没有平方根。
4. （4）
根据平方根的性质：正数有两个平方根，$0$的平方根是$0$，负数没有平方根。
因为$9\gt0$，$9$的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$；
因为$5\gt0$，$5$的平方根为$\pm\sqrt{5}$；
因为$\frac{9}{25}\gt0$，$\frac{9}{25}$的平方根为$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}$；
因为$0 = 0$，$0$的平方根是$0$；
因为$-\frac{4}{9}\lt0$，所以$-\frac{4}{9}$没有平方根，理由是负数没有平方根；
因为$-8\lt0$，所以$-8$没有平方根，理由是负数没有平方根；
因为$-36\lt0$，所以$-36$没有平方根，理由是负数没有平方根。
故答案依次为：（1）$a$；$(-x)^{2}$；$a$；$a$；$2$；（2）$0$；$0$；$0$；（3）没有；（4）$9$的平方根是$\pm3$；$5$的平方根是$\pm\sqrt{5}$；$\frac{9}{25}$的平方根是$\pm\frac{3}{5}$；$0$的平方根是$0$；$-\frac{4}{9}$没有平方根，理由是负数没有平方根；$-8$没有平方根，理由是负数没有平方根；$-36$没有平方根，理由是负数没有平方根。

例1(教材典题)求下列各数的平方根：
(1)100； (2)625； (3)0.0081； (4)2.

答案：
(1)±10
(2)±25
(3)±0.09
(4)±√2