《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

例 (教材典题)如图1-5-17,在等边三角形ABC中,DE//BC.
求证：△ADE是等边三角形.

答案： 【解析】：本题可根据等边三角形的性质以及平行线的性质来证明$\triangle ADE$是等边三角形。
已知$\triangle ABC$是等边三角形，则$\angle B = \angle C = 60^{\circ}$。
因为$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle ADE = \angle B$，$\angle AED = \angle C$。
进而推出$\angle ADE = \angle AED = 60^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可求出$\angle A$的度数，再结合$\angle ADE$与$\angle AED$的度数，根据等边三角形的判定定理来证明$\triangle ADE$是等边三角形。
【答案】：证明：
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$\angle B = \angle C = 60^{\circ}$。
∵$DE// BC$，
∴$\angle ADE = \angle B$，$\angle AED = \angle C$（两直线平行，同位角相等）。
∴$\angle ADE = \angle AED = 60^{\circ}$。
∵$\angle A + \angle ADE + \angle AED = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$），
∴$\angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$。
∴$\angle A = \angle ADE = \angle AED$。
∴$\triangle ADE$是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。

变式 如图1-5-18,在等边三角形ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD//AB,OE//AC,分别交BC于点D,E.
(1)试判断△ODE的形状,并说明理由；
(2)线段BD,DE,EC三者有什么数量关系？并说明理由.

答案：
(1)△ODE 是等边三角形 理由略
(2)BD=DE=EC 理由略

问题探究
如图1-5-19,用两个含30°角的三角板拼一个三角形.这个三角形是等边三角形吗？30°角所对的直角边和斜边有什么关系？

答案： 解:由拼图可知,这个三角形的三个内角都是 60°,所以它是等边三角形. 由此可知,含 30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半.

练习 (1)如图1-5-20①,在Rt△ABC中,∠A= 90°,若∠C= 2∠B,AC= 5,则BC的长为10；
(2)如图②,在△ABC中,∠BAC= 90°,AD⊥BC,垂足为D,若∠B= 60°,AD= 2,则AC=4；
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠C= 90°,点D在线段BC上,且∠B= 30°,∠ADC= 60°,DC= 3,则BD的长度为6.

答案：
(1)10
(2)4
(3)6