《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

例3(教材典题)如图1-4-14,△ABC的角平分线AD,BE相交于点P.
求证：点P在∠C的平分线上.

答案： 【解析】：本题考查角平分线的性质定理和判定定理，要证明点P在∠C的平分线上，需要找到点P到∠C两边的距离，证明它们相等，可以利用角平分线的性质得到点P到AB、AC的距离相等，再通过全等三角形证明这两个距离与点P到BC的距离相等。
证明：
过点P作$PF\perp AB$于点F，$PG\perp AC$于点G，$PH\perp BC$于点H。
因为AD平分$\angle BAC$，$PF\perp AB$，$PG\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PF = PG$。
因为BE平分$\angle ABC$，$PF\perp AB$，$PH\perp BC$，同理可得$PF = PH$。
所以$PG = PH$。
又因为$PG\perp AC$，$PH\perp BC$，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点P在$\angle C$的平分线上。
【答案】：证明：过点P作$PF\perp AB$于点F，$PG\perp AC$于点G，$PH\perp BC$于点H。
∵AD平分$\angle BAC$，$PF\perp AB$，$PG\perp AC$，
∴$PF = PG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BE平分$\angle ABC$，$PF\perp AB$，$PH\perp BC$，
∴$PF = PH$。
∴$PG = PH$。
∵$PG\perp AC$，$PH\perp BC$，
∴点P在$\angle C$的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。

变式 如图1-4-15,△ABC的两外角的平分线BD与AE相交于点P.求证：点P到三边AB,BC,CA所在的直线的距离相等.

答案： 【解析】：本题主要考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等。要证明点$P$到三边$AB$，$BC$，$CA$所在直线的距离相等，可通过分别证明点$P$到$AB$与$BC$的距离相等、点$P$到$AB$与$AC$的距离相等来完成。
已知$BD$是$\angle CBE$的平分线，根据角平分线的性质，可得到点$P$到$BC$和$AB$的距离相等；
又因为$AE$是$\angle BAC$外角的平分线，同样根据角平分线的性质，可得到点$P$到$AC$和$AB$的距离相等；
综合以上两个结论，就能得出点$P$到三边$AB$，$BC$，$CA$所在直线的距离相等。
【答案】：证明：
过点$P$作$PF\perp AB$于点$F$，$PM\perp BC$于点$M$，$PN\perp AC$于点$N$。
∵$BD$平分$\angle CBE$，$PF\perp AB$，$PM\perp BC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$PF = PM$。
∵$AE$平分$\angle BAC$的外角，$PF\perp AB$，$PN\perp AC$，
同样根据角平分线的性质，
∴$PF = PN$。
∴$PF = PM = PN$。
即点$P$到三边$AB$，$BC$，$CA$所在直线的距离相等。

拓展探究
如图1-4-16,把直尺的一边落在∠AOB的边OA上,沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上,沿直尺的另一边画出直线EF.CD与EF相交于点P,连接OP.OP是∠AOB的平分线吗？为什么？

答案： OP 是∠AOB 的平分线 理由略

反思
三角形的一个内角的平分线经过其他两个内角的相邻外角平分线的交点吗？请尝试证明.

答案： 解:经过.证明略,可以仿照教材例题证明.