《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

例 (教材典题)如图1-3-22,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高.求证:AD= A'D'.

答案： 【解析】：本题可根据全等三角形的性质来证明$AD = A'D'$。已知$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，根据全等三角形的性质可知对应角相等、对应边相等，再结合高的定义，通过证明两个直角三角形全等，进而得到对应高相等。
【答案】：证明：
∵$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，
∴$AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$。
∵$AD$，$A'D'$分别是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的高，
∴$\angle ADB=\angle A'D'B' = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，
$\begin{cases}\angle B = \angle B'\\\angle ADB=\angle A'D'B'\\AB = A'B'\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'(AAS)$。
∴$AD = A'D'$。

练习 已知:如图1-3-23,∠A= ∠D,∠ACB= ∠DBC.求证:AB= DC.

答案： 证明:在△ABC 与△DCB 中，{∠A=∠D，∠ACB=∠DBC，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AB=DC.

探究 在图1-3-22中,如果AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线(或中线),那么AD与A'D'相等吗? 证明你的结论.

答案： AD 与 A′D′均相等，证明略

反思
AAS与ASA是不同的,它们之间有什么联系呢?

答案： AAS（角角边）和ASA（角边角）都用于判定三角形全等。联系是：AAS可以通过三角形内角和定理（三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，可变形为$\angle C=180^{\circ}-\angle A - \angle B$等形式）转化为ASA。例如，在两个三角形中，已知两角及其中一角的对边相等（AAS），根据内角和定理可求出第三个角相等，进而转化为两角及其夹边相等（ASA）来判定全等。