《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

在图 1 - 5 - 2 中,根据△ABD ≌ △ACD,可知∠BAD = ∠CAD,所以AD是△ABC 的角平分线。
根据△ABD ≌ △ACD,还可知∠ADB = ∠ADC,因为∠ADB + ∠ADC = 180°,所以∠ADB = ∠ADC = 90°。所以 AD ⊥ BC,即 AD 是△ABC 的高。

答案： CAD AD ADC ADC ADC 90

例 2(教材补充例题)如图 1 - 5 - 5,在△ABC 中,AB = AC,AD 是 BC 边上的中线,BE ⊥ AC 于点 E。求证：∠CBE = $\frac{1}{2}$∠BAC。

答案： 【解析】：根据题意，我们需要证明∠CBE是∠BAC的一半。我们可以通过等腰三角形的性质以及直角三角形的性质来推导这一结论。首先，由于AB=AC，我们知道△ABC是等腰三角形，所以∠ABC=∠ACB。又因为AD是BC的中线，所以BD=DC，且AD垂直于BC。接着，由于BE垂直于AC，我们可以利用这些信息来找到∠CBE和∠BAC之间的关系。
【答案】：证明：
∵$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
∴$AD\perp BC$（等腰三角形三线合一性质），
∴$\angle AD B=\angle ADC=90^\circ$，
∴$\angle CAD+\angle C=90^\circ$，
∵$BE\perp AC$，
∴$\angle CBE+\angle C=90^\circ$，
∴$\angle CBE=\angle CAD$（同角的余角相等），
∵$AB=AC$，$AD\perp BC$
∴$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC$(等腰三角形三线合一性质)，
∴$\angle CBE=\frac{1}{2}\angle BAC$（等量代换）。

练习 如图 1 - 5 - 6,在△ABC 中,AB = AC,D 为 BC 的中点,AD = AE,∠BAD = 30°,求∠EDC 的度数。

答案： 15°

操作尝试
如图 1 - 5 - 7,已知线段 a,h,用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使底边 BC = a,高 AD = h。

答案： 【解析】：本题考查了尺规作图以及等腰三角形的性质。
已知底边BC和底边上的高AD，
所以可以先作底边BC=a，
然后作BC的垂直平分线，
在垂直平分线上截取DA=h，
然后连接AB，AC即可。
【答案】：图略
作法:
(1)作线段BC=a;
(2)作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D;
(3)在MN上截取线段DA=h;
(4)连接AB，AC，则$\bigtriangleup ABC$就是所求作的等腰三角形。

反思
用等腰三角形性质定理 1 求等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角时，要注意什么？

答案： 解:注意对等腰三角形的顶角是锐角还是钝角分类讨论.