《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

拓展 如图1-5-11,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE//AB交AC于点E。
(1)求证：△AED是等腰三角形；
(2)若∠C= 110°,∠B= 30°,求∠AED的度数。

答案：
(1)证明:
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE//AB,
∴∠EDA=∠BAD,
∴∠EDA=∠CAD,
∴EA=ED,
∴△AED 是等腰三角形.
(2)140°

例2(教材补充例题)已知：如图1-5-12,在△ABC中,AB= AC,点D,E分别在边AC,AB上,且∠ABD= ∠ACE,BD与CE相交于点O。
求证：OB= OC。

答案： 【解析】：
本题考查了等腰三角形的判定与性质，通过证明两个三角形全等，得出对应角相等，再结合等腰三角形的性质，证明$OB=OC$。
证明：
∵$AB=AC$，
∴$\angle ABC=\angle ACB$（等边对等角）。
∵$\angle ABD = \angle ACE$，
∴$\angle ABC-\angle ABD=\angle ACB - \angle ACE$，
即$\angle OBC=\angle OCB$。
∴$OB = OC$（等角对等边）。
【答案】：
证明：
∵$AB=AC$，
∴$\angle ABC=\angle ACB$。
∵$\angle ABD = \angle ACE$，
∴$\angle ABC-\angle ABD=\angle ACB - \angle ACE$，
即$\angle OBC=\angle OCB$。
∴$OB = OC$。

变式 如图1-5-13,在△ABC中,AB= AC,D是边AB上一点,∠BCD= ∠A。求证：CD= CB。

答案： 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB（等边对等角）。
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BDC=∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），且∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB。
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠BDC。
∴CD=CB（等角对等边）。

反思
通常如何转化等角为运用等腰三角形的判定定理创造条件？

答案：

通常可通过以下方式转化等角为运用等腰三角形判定定理创造条件：

1. 利用平行线的性质得到同位角相等、内错角相等；

2. 借助角平分线的定义得出角相等；

3. 通过全等三角形的对应角相等获得等角；

4. 依据三角形外角的性质推导出角之间的等量关系；

5. 利用等腰三角形的性质（等边对等角）得到等角进行转化。