《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

例2 (教材典题)如图1-3-36,AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为B,D.点C在BD上,AB= CD,BC= DE,求证：AC与CE垂直且相等.

答案： 证明:
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC和△CDE中,AB=CD,∠B=∠D,BC=DE,
∴△ABC≌△CDE(SAS).
∴∠A=∠ECD,AC=CE.
∵∠B=90°,
∴∠A+∠ACB=90°.
∴∠ECD+∠ACB=90°.
∴∠ACE=90°.
∴AC与CE垂直且相等.

练习1 如图1-3-37,点C,F在线段BE上,∠A= ∠D,AB//DE,BF= EC.判断AC和DF的关系,并说明理由.

答案： AC=DF,AC//DF 理由略

练习2 如图1-3-38,已知△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,P是线段AB上一点,过点A作AE⊥CP交CP的延长线于点E,过点B作BF⊥CP于点F.则线段AE,BF,EF有怎样的数量关系？请说明理由.

答案： BF=EF+AE 理由略

反思
判定两个三角形全等的三个条件中,什么条件是必不可少的？

答案： 判定两个三角形全等的三个条件中，**至少有一组对应边相等**是必不可少的。
分析如下：
- **$SAS$（边角边）**：有两组对应边及其夹角相等，包含了边相等的条件。
- **$ASA$（角边角）**：看似只有角的条件，但实际上两个角及其夹边确定，边也包含其中（因为角的位置确定了，夹边也就确定了长度等属性）。
- **$AAS$（角角边）**：两个角对应相等，再加上一组对边相等，这里明确有边相等的条件。
- **$SSS$（边边边）**：三组对应边都相等。
如果没有边相等的条件，仅靠角相等，只能得到三角形相似，而不能判定全等。例如，两个大小不同但形状相同（三个角分别相等）的三角形，它们是相似三角形，并非全等三角形。所以边相等这个条件在判定三角形全等时必不可少。