《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

练习 如图1-4-3,△ABC中,AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为F,G,△ADE的周长为5,求BC的长。

答案： 5

问题探究
如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？
证明：如图1-4-5，当点Q在线段AB上时，如果QA=QB，那么Q是线段AB的中点，所以线段AB的垂直平分线一定经过点Q。

如图1-4-6，当点Q在线段AB外时，作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA=∠QMB=90°。如果QA=QB，那么通过“______HL”，可以证明Rt△QAM≌Rt△QBM，所以AM=______BM，即M是线段AB的______中点，所以QM是线段AB的垂直平分线，即点Q一定在线段AB的垂直平分线上。

答案： 中 QMB HL BM 中

讨论探究
如图1-4-7,AB= AD,CB= CD,AC,BD相交于点E。你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？

答案： 解:相等的角:∠AED=∠AEB=∠CED=∠CEB,∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ACB,∠ADC=∠ABC,∠ADE=∠ABE,∠CDE=∠CBE.
证明如下:
∵AB=AD,CB=CD,
∴AC 垂直平分线段 BD.
∴∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°.
在△ADC和△ABC中,AD=AB,
CD=CB,
AC=AC,
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ACB,∠ADC=∠ABC.
在△ADE和△ABE中,AD=AB,
∠DAE=∠BAE,
AE=AE,
∴△ADE≌△ABE(SAS).
∴∠ADE=∠ABE.
∴∠CDE=∠CBE.