《2025年全品学练考八年级数学上册苏科版江苏专版》

等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质,还具有性质定理：等边三角形的各角都等于60°。
等边三角形的判定定理：1. 三个角都相等的三角形是等边三角形。2. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

答案： 等边三角形的各角都等于60°；1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；2. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

例9 如图1-T-7,$\triangle ABC$是等边三角形,$BD \perp AC$,$AE \perp BC$,垂足分别为$D,E$,$AE与BD相交于点O$,连接$DE$。
(1)判断$\triangle CDE$的形状,并说明理由；
(2)若$AO = 12$,求$OE$的长。

答案：
(1)△ADE是等边三角形 理由略；
(2)6

含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。
直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

答案： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例10 如图1-T-8,在$Rt \triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AC = 2$,$CD$是斜边上的中线,$CE$是高,$F是CD$的中点,连接$EF$。
(1)求线段$CD$的长；
(2)求证：$\triangle EDF$是等边三角形。

答案：
(1)2；
(2)略

例11 在$Rt \triangle ABC$中,$AC = BC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$O为AB$的中点。
(1)若$\angle EOF = 90^{\circ}$,两边分别交直线$AC$,$BC于点E,F$。
①如图1-T-9①,当点$E,F分别在边AC和BC$上时,求证：$OE = OF$；
②如图②,当点$E,F分别在AC和CB$的延长线上时,连接$EF$,若$OE = 6$,求$S_{\triangle EOF}$。
(2)如图③,若$\angle EOF = 45^{\circ}$,两边分别交边$AC于点E$,交$BC的延长线于点F$,连接$EF$,若$CF = 3$,$EF = 5$,试求$AE$的长。

答案： 解:
(1)①证明:如图a，连接OC.
∵AC = BC，∠ACB = 90°，O为AB的中点，
∴AO = CO = BO，∠AOC = 90°，∠A = ∠BCO = 45°.
∵∠EOF = 90°，
∴∠AOE = ∠COF，
∴△AOE ≌ △COF(ASA)，
∴OE = OF. ②如图b，连接OC.
∵AC = BC，∠ACB = 90°，O为AB的中点，
∴AO = CO = BO，∠BOC = 90°，∠ABC = ∠ACO = 45°，
∴∠OCE = ∠OBF = 135°.
∵∠COB = ∠EOF = 90°，
∴∠COE = ∠BOF，
∴△COE ≌ △BOF(ASA)，
∴OF = OE = 6，
∴S△EOF = 1/2OE·OF = 18.
(2)如图c，连接CO，过点O作HO⊥FO，交CA的延长线于点H.
∵AC = BC，∠ACB = 90°，O为AB的中点，
∴AO = CO = BO，∠AOC = 90°，∠BAC = ∠BCO = 45°，
∴∠OCF = ∠OAH = 135°.
∵HO⊥FO，
∴∠FOH = 90°，
∴∠FOH = ∠AOC，
∴∠COF = ∠AOH，
∴△COF ≌ △AOH(ASA)，
∴AH = CF = 3，OF = OH.
∵∠EOF = 45°，∠FOH = 90°，
∴∠EOF = ∠EOH = 45°. 又
∵OF = OH，EO = EO，
∴△EOF ≌ △EOH(SAS)，
∴EH = EF = 5，
∴AE = EH - AH = 2.