《2025年奔跑吧少年八年级数学上册浙教版》

典例3 (2024秋·宁波海曙期末)如图,在等边三角形ABC中,D是AC边上的一点,E是BC延长线上的一点,且AD= CE。
(1)当D是AC的中点时,∠E的度数为______30°。
(2)当D是AC边上的任意一点时,求证：DB= DE。

答案：
(1)$30^{\circ}$
(2)略

互动题3-1 如图,△ABC是等边三角形,AD为BC边上的中线,AD= AE,则∠ADE的度数为______75°。

答案： $75^{\circ}$

互动题3-2 (2024秋·温州期末)如图,在△ABC中,AB= AC,点D,E分别在BA,CB的延长线上,且AE= CD,∠BAE= ∠ACD。求证：△ABC是等边三角形。
证明：在△ABE和△CAD中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAE=\angle ACD\\AE = CD\end{cases}$，所以△ABE≌△CADSAS。
所以∠ABE=∠CAD。
因为AB = AC，所以∠ABC=∠ACB。
又因为∠ABE=∠ACB+∠BAC，∠CAD=∠BAC+∠BAD，所以∠ACB=∠BAD。
因为∠BAD + ∠BAC+∠CAD = 180°，∠ACB+∠BAC+∠ABC = 180°，且∠ABC=∠ACB，所以∠ABC=∠ACB=∠BAC。
所以△ABC是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形。

答案： 在$\triangle ABE$和$\triangle CAD$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAE=\angle ACD\\AE = CD\end{cases}$，所以$\triangle ABE\cong\triangle CAD(SAS)$。
所以$\angle ABE=\angle CAD$。
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
又因为$\angle ABE=\angle ACB+\angle BAC$，$\angle CAD=\angle BAC+\angle BAD$，所以$\angle ACB=\angle BAD$。
因为$\angle BAD + \angle BAC+\angle CAD = 180^{\circ}$，$\angle ACB+\angle BAC+\angle ABC = 180^{\circ}$，且$\angle ABC=\angle ACB$，所以$\angle ABC=\angle ACB=\angle BAC$。
所以$\triangle ABC$是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。

典例4 定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是 (A)
A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
B. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D. 不是等腰三角形的两个角不相等

答案： A

互动题4 如图,AC= AD,BC= BD,则有 (A)

A. AB垂直平分CD
B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ACB

答案： A

典例5 (2024秋·绍兴诸暨期末)如图,Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧,∠DAB= ∠BCD= 90°,O是BD的中点,连结AC,AO,OC。
(1)若∠ADB= 30°,∠BDC= 40°,求∠AOC的度数。140°
(2)若锐角∠ADC= α,求∠AOC的度数(用含α的代数式表示)。2α

答案：
(1)$140^{\circ}$。
(2)$2\alpha$。

互动题5-1 如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,ED是线段AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E。已知∠BAE= 10°,则∠C的度数为______40°。

答案： $40^{\circ}$

(1)求证：△ADC≌△BDE。
证明：在△ADC和△BDE中，$\begin{cases}AD = DB\\\angle ADC=\angle BDE\\DC = ED\end{cases}$，所以△ADC≌△BDE(SAS)。
(2)若BF= AH,求证：△FDH是等腰直角三角形。
证明：由(1)得△ADC≌△BDE，所以$\angle FBD=\angle HAD$。
在△BDF和△ADH中，$\begin{cases}BF = AH\\\angle FBD=\angle HAD\\BD = AD\end{cases}$，所以△BDF≌△ADH(SAS)。
则$DF = DH$，$\angle BDF=\angle ADH$。
因为$\angle BDE=\angle BDF+\angle FDE = 90^{\circ}$，所以$\angle ADH+\angle FDE = 90^{\circ}$，即$\angle FDH = 90^{\circ}$。
又因为$DF = DH$，所以△FDH是等腰直角三角形。

答案： $(1)$ 在$\triangle ADC$和$\triangle BDE$中，$\begin{cases}AD = DB\\\angle ADC=\angle BDE\\DC = ED\end{cases}$，所以$\triangle ADC\cong\triangle BDE(SAS)$。
$(2)$ 由$(1)$得$\triangle ADC\cong\triangle BDE$，所以$\angle FBD=\angle HAD$。
在$\triangle BDF$和$\triangle ADH$中，$\begin{cases}BF = AH\\\angle FBD=\angle HAD\\BD = AD\end{cases}$，所以$\triangle BDF\cong\triangle ADH(SAS)$。
则$DF = DH$，$\angle BDF=\angle ADH$。
因为$\angle BDE=\angle BDF+\angle FDE = 90^{\circ}$，所以$\angle ADH+\angle FDE = 90^{\circ}$，即$\angle FDH = 90^{\circ}$。
又因为$DF = DH$，所以$\triangle FDH$是等腰直角三角形。