《2025年奔跑吧少年八年级数学上册浙教版》

例1 (2024秋·宁波余姚期末)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AC与DE相交于点G,AB= DE,AC= DF,BE= CF。
(1)求证:△ABC≌△DEF。(略)
(2)若∠D= 45°,求∠EGC的度数。(45°)

答案：
(1)略
(2)$45^{\circ }$。

跟踪训练1 将两个三角形按如图所示的方式摆放,点B,C,E,F在同一直线上,BE= CF,AC//DF,AC= DF。求证:△ABC≌DEF。

证明：在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\because BE = CF$，
$\therefore BE - CE = CF - CE$（等式性质），
即$BC = EF$。
$\because AC// DF$，
$\therefore\angle ACB=\angle DFE$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AC = DF$，
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF$SAS。

答案： 在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\because BE = CF$，
$\therefore BE - CE = CF - CE$（等式性质），
即$BC = EF$。
$\because AC// DF$，
$\therefore\angle ACB=\angle DFE$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AC = DF$，
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF(SAS)$。
故答案为：$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SAS)$。

例2 如图,∠C= ∠D= 90°,∠CBA= ∠DAB。
(1)求证:△ABC≌△BAD。略
(2)若∠DAB= 70°,求∠COB的度数。40°

答案：
(1)略
(2)$40^{\circ }$。

跟踪训练2 如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD= AE。求证:BE= CD。
证明：在$\triangle AEC$和$\triangle ADB$中，
$\because BD\perp AC$，$CE\perp AB$，
$\therefore\angle AEC=\angle ADB = 90^{\circ}$。
又$\because\angle A=\angle A$，$AE = AD$，
$\therefore\triangle AEC\cong\triangle ADB$ASA。
$\therefore AB = AC$。
又$\because AE = AD$，
$\therefore AB - AE = AC - AD$，即$BE = CD$。
综上，$\boldsymbol{BE = CD}$得证。

答案： 在$\triangle AEC$和$\triangle ADB$中，
$\because BD\perp AC$，$CE\perp AB$，
$\therefore\angle AEC=\angle ADB = 90^{\circ}$。
又$\because\angle A=\angle A$，$AE = AD$，
$\therefore\triangle AEC\cong\triangle ADB(ASA)$。
$\therefore AB = AC$。
又$\because AE = AD$，
$\therefore AB - AE = AC - AD$，即$BE = CD$。
综上，$\boldsymbol{BE = CD}$得证。

例3 (2024秋·台州路桥期末)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,FB= CE,AB= DE,AC= DF。求证:
(1)△ABC≌△DEF(SSS)。
(2)AF= CD(由(1)△ABC≌△DEF，得∠ACB=∠DFE。在△ACF和△DFC中，{AC=DF,∠ACB=∠DFE,FC=CF}，所以△ACF≌△DFC(SAS)，则AF=CD)。

答案：
(1) 因为$FB = CE$，所以$FB + FC = CE + FC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\AC = DF\\BC = EF\end{cases}$，所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SSS)$。
(2) 由
(1)$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，得$\angle ACB=\angle DFE$。
在$\triangle ACF$和$\triangle DFC$中，$\begin{cases}AC = DF\\\angle ACB=\angle DFE\\FC = CF\end{cases}$，所以$\triangle ACF\cong\triangle DFC(SAS)$，则$AF = CD$。
综上，
(1) $\triangle ABC\cong\triangle DEF(SSS)$得证；
(2) $AF = CD$得证。

跟踪训练3 如图,点E在△ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于点F,∠1= ∠2= ∠3,AC= AE。求证:△ABC≌△ADE。

证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
$\because\angle1 = \angle2$，
$\therefore\angle1+\angle DAC=\angle2+\angle DAC$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
$\because\angle2 = \angle3$，$\angle AFE=\angle DFC$（对顶角相等），
$\therefore\angle E = 180^{\circ}-\angle2-\angle AFE$，$\angle C = 180^{\circ}-\angle3-\angle DFC$，
$\therefore$$\angle E=\angle C$。
又$\because AC = AE$，
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADE$（ASA）。

答案： 在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
$\because\angle1 = \angle2$，
$\therefore\angle1+\angle DAC=\angle2+\angle DAC$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
$\because\angle2 = \angle3$，$\angle AFE=\angle DFC$（对顶角相等），
$\therefore\angle E = 180^{\circ}-\angle2-\angle AFE$，$\angle C = 180^{\circ}-\angle3-\angle DFC$，
$\therefore\angle E=\angle C$ 。
又$\because AC = AE$，
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADE(ASA)$ 。
综上，$\boldsymbol{\triangle ABC\cong\triangle ADE(ASA)}$成立，此题得证。