《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

27. （10分）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，矩形$OABC$的边$OA$在$x$轴上，$OC$在$y$轴上，$OA = 4$，$OC = 2$，点$D$是$BC$边上的动点（不与$B$，$C$重合），反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图象经过点$D$，且与$AB$交于点$E$，连接$OD$，$OE$，$DE$.
（1）若点$D$的横坐标为1.
①求$k$的值；
②点$P$在$x$轴上，当$\triangle ODE$的面积等于$\triangle ODP$的面积时，试求点$P$的坐标；
（2）延长$ED$交$y$轴于点$F$，连接$AC$，判断四边形$AEFC$的形状，并说明理由.

答案：
解：
(1)①
∵点$D$的横坐标为$1$，$OC = 2$，
∴点$D$的坐标为$(1,2)$，
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图象经过点$D$，
∴$k = 1\times2 = 2$；
②
∵点$D$的横坐标为$1$，$OC = 2$，
∴$S_{\triangle COD} = 1$，
∵点$E$在反比例函数$y = \frac{2}{x}$的图象上，
∴$S_{\triangle AOE} = 1$，
∵$OA = 4$，
∴$AE = \frac{1}{2}$，$BD = 4 - 1 = 3$，$BE = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，
∴$S_{\triangle ODE} = S_{矩形OABC} - S_{\triangle OCD} - S_{\triangle AOE} - S_{\triangle BDE} = 2\times4 - 1 - 1 - \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{4}$，
∵点$P$在$x$轴上，
∴设$P(m,0)$，
∴$S_{\triangle ODP} = \frac{1}{2}|m|\times2 = \frac{15}{4}$，解得$m = \pm\frac{15}{4}$，
∴点$P$的坐标为$(\frac{15}{4},0)$或$(-\frac{15}{4},0)$；
(2)四边形$AEFC$是平行四边形，
理由如下：如图，连接$AC$，延长$ED$交$y$轴于点$F$，
由题意得$D(\frac{k}{2},2)$，$E(4,\frac{k}{4})$，
设直线$EF$的函数解析式为$y = ax + b(a \neq 0)$，
则$\begin{cases}2 = \frac{k}{2}a + b \\ \frac{k}{4} = 4a + b \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2} \\ b = \frac{8 + k}{4} \end{cases}$，
∴直线$EF$的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x + \frac{8 + k}{4}$，
∴$OF = \frac{8 + k}{4}$，
∴$CF = OF - 2 = \frac{k}{4} = AE$，
又
∵$CF// AE$，
∴四边形$AEFC$是平行四边形.