《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

27.(10分)问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN与EC相交于点P，求$\tan\angle CPN$的值.
　　　　　　
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形. 观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN//EC，则∠DNM = ∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.
问题解决
(1)直接写出图1中$\tan\angle CPN$的值_______；
(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求$\cos\angle CPN$的值；
思维拓展
(3)如图3，AB⊥BC，AB = 4BC，点M在AB上，且AM = BC，延长CB到点N，使BN = 2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数.

答案：
解：
(1)2;
(2)如图1,连接格点$A,B$和$B,N$, 则$AB\parallel MC,\therefore\angle CPN=\angle BAN$. 由勾股定理,得$AB = BN=\sqrt{5},AN=\sqrt{10}$, $\therefore AB^{2}+BN^{2}=AN^{2}$, $\therefore\triangle ABN$是直角三角形, $\therefore\cos\angle CPN=\cos\angle BAN=\frac{AB}{AN}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(3)设$BC = 1$,构造如图2所示的网格图, 连接格点$A,D$和$D,N$,则$AD\parallel CM$, $\therefore\angle CPN=\angle DAN$, 由勾股定理,得$AD = DN=\sqrt{10},AN = 2\sqrt{5}$, $\therefore AD^{2}+DN^{2}=AN^{2}$, $\therefore\triangle ADN$是直角三角形, $\therefore\cos\angle CPN=\cos\angle DAN=\frac{AD}{AN}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\therefore\angle CPN=\angle DAN = 45^{\circ}$.