《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

27. （10分）如图，在等腰三角形$ABC$中，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$AB = AC = 2$，点$D$是$BC$边上的一个动点（不与$B$，$C$重合），在$AC$上取一点$E$，使$\angle ADE = 30^{\circ}$。设$BD = x$，$AE = y$。
（1）求证：$\triangle ABD\sim\triangle DCE$；
（2）求$y$关于$x$的函数关系式并写出自变量$x$的取值范围；
（3）当$\triangle ADE$是等腰三角形时，求$AE$的长.

答案：

(1)证明：$\because \triangle ABC$是等腰三角形，且$\angle BAC = 120^{\circ}$，$\therefore \angle ABD=\angle ACB = 30^{\circ}$，$\therefore \angle ABD=\angle ADE = 30^{\circ}$，$\because \angle ADC=\angle ADE+\angle EDC=\angle ABD+\angle DAB$，$\therefore \angle EDC=\angle DAB$，$\therefore \triangle ABD\sim\triangle DCE$；
(2)解：如图1，$\because AB = AC = 2$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，过$A$作$AF\perp BC$于$F$，$\therefore \angle AFB = 90^{\circ}$，

$\because AB = 2$，$\angle ABF = 30^{\circ}$，$\therefore AF=\frac{1}{2}AB = 1$，$\therefore BF=\sqrt{3}$，$\therefore BC = 2BF = 2\sqrt{3}$，则$DC = 2\sqrt{3}-x$，$EC = 2 - y$，$\because \triangle ABD\sim\triangle DCE$，$\therefore \frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，$\therefore \frac{2}{2\sqrt{3}-x}=\frac{x}{2 - y}$，化简得$y=\frac{1}{2}x^{2}-\sqrt{3}x + 2(0\lt x\lt 2\sqrt{3})$；
(3)解：当$AD = DE$时，如图2，

由
(1)可知，此时$\triangle ABD\sim\triangle DCE$，则$AB = CD$，即$2 = 2\sqrt{3}-x$，$x = 2\sqrt{3}-2$，代入$y=\frac{1}{2}x^{2}-\sqrt{3}x + 2$，解得$y = 4 - 2\sqrt{3}$，即$AE = 4 - 2\sqrt{3}$，当$AE = ED$时，如图3，$\angle EAD=\angle EDA = 30^{\circ}$，$\angle AED = 120^{\circ}$，

$\therefore \angle DEC = 60^{\circ}$，$\angle EDC = 90^{\circ}$，则$ED=\frac{1}{2}EC$，即$y=\frac{1}{2}(2 - y)$，解得$y=\frac{2}{3}$，即$AE=\frac{2}{3}$，当$AD = AE$时，$\angle AED=\angle EDA = 30^{\circ}$，$\angle EAD = 120^{\circ}$，此时点$D$与点$B$重合，不符合题意，此情况不存在，$\therefore$当$\triangle ADE$是等腰三角形时，$AE = 4 - 2\sqrt{3}$或$\frac{2}{3}$.