《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

26. （10分）如图，已知一次函数$y = \frac{3}{2}x - 3$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象相交于点$A(4,n)$，与$x$轴交于点$B$.
（1）填空：$n$的值为______，$k$的值为______；
（2）以$AB$为边作菱形$ABCD$，使点$C$在$x$轴正半轴上，点$D$在第一象限，求点$D$的坐标；
（3）结合反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象，当$y \geq - 2$时，请直接写出自变量$x$的取值范围.

答案：
解：
(1)把点$A(4,n)$代入一次函数$y = \frac{3}{2}x - 3$，可得$n = \frac{3}{2} \times 4 - 3 = 3$；
把点$A(4,3)$代入反比例函数$y = \frac{k}{x}$，可得$3 = \frac{k}{4}$，
解得$k = 12$；
(2)
∵一次函数$y = \frac{3}{2}x - 3$与$x$轴相交于点$B$，
∴$\frac{3}{2}x - 3 = 0$，解得$x = 2$，
∴点$B$的坐标为$(2,0)$，
过点$A$作$AE\perp x$轴，垂足为$E$，
过点$D$作$DF\perp x$轴，垂足为$F$，
∵$A(4,3)$，$B(2,0)$，
∴$OE = 4$，$AE = 3$，$OB = 2$，
∴$BE = OE - OB = 4 - 2 = 2$，
在$Rt\triangle ABE$中，
$AB = \sqrt{AE^{2} + BE^{2}} = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$，
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB = CD = BC = AD = \sqrt{13}$，$AB// CD$，$AD// BC$，
∴$\angle ABE = \angle DCF$，
∵$AE\perp x$轴，$DF\perp x$轴，
∴$\angle AEB = \angle DFC = 90^{\circ}$，
∴四边形$AEFD$为矩形，
∴$AD = EF = \sqrt{13}$，$AE = DF = 3$，
∴$OF = OE + EF = 4 + \sqrt{13}$，
∴点$D$的坐标为$(4 + \sqrt{13},3)$；
(3)当$y = -2$时，$-2 = \frac{12}{x}$，解得$x = -6$.
故当$y\geq -2$时，自变量$x$的取值范围是$x\leq -6$或$x ＞ 0$.