《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

25.(10分)如图，已知□ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC = ∠DEC.
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)若AB = 13，DF = 14，$\tan A = \frac{12}{5}$，求CF的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∵∠AFC=∠DEC,
∴∠AFC=∠ADE,
∴DE//CF,
∵AD//BC,
∴DF//CE,
∴四边形DECF是平行四边形;
(2)解:过D作DM⊥EC于M,
　则∠DMC=∠DME=90°，
　　　　　
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=13,∠DCB=∠A,
∵tanA=$\frac{12}{5}$
∴tan∠DCB=$\frac{12}{5}$=$\frac{DM}{MC}$，
　设DM=12x,CM=5x,
　由勾股定理得DM²+CM2=DC²,
　即(12x)²+(5x)²=13²,解得x=1,
　即CM=5,DM=12,
∵四边形DECF是平行四边形，
∴DE=CF,DF=CE=14,
∴EM=14−5=9,
　在Rt△DME中,由勾股定理得DE=$\sqrt{12^2+9^2}$=15,
∴CF=DE=15.